Polylogaritmen

Inom matematiken är Polylogaritmen en speciell funktion som definieras som

${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}=z+\frac{z^2}{2^s}+\frac{z^3}{3^s}+\cdots .$

Speciella värden

1. Då s är ett negativt heltal är polylogaritmen en rationell funktion av z:

${\mathrm{Li}}_1(z)=-\ln (1-z)$

${\mathrm{Li}}_0(z)=\frac{z}{1-z}$

${\mathrm{Li}}_{-1}(z)=\frac{z}{(1-z{)}^2}$

${\mathrm{Li}}_{-2}(z)=\frac{z(1+z)}{(1-z{)}^3}$

${\mathrm{Li}}_{-3}(z)=\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z{)}^4}$

${\mathrm{Li}}_{-4}(z)=\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z{)}^5}$

och i allmänhet

${\mathrm{Li}}_{-n}(z)={\left(z\frac{\partial }{\partial z}\right)}^n\frac{z}{1-z}=$

$=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1){\left(\frac{z}{1-z}\right)}^{k+1}(n=0,1,2,\dots ),$

där S(n,k) är Stirlingtalen av andra ordningen .

2.

${\mathrm{Li}}_1(\frac{1}{2})=\ln 2$

${\mathrm{Li}}_2(\frac{1}{2})=\frac{1}{12}{\pi }^2-\frac{1}{2}(\ln 2{)}^2$

${\mathrm{Li}}_3(\frac{1}{2})=\frac{1}{6}(\ln 2{)}^3-\frac{1}{12}{\pi }^2\ln 2+\frac{7}{8}\zeta (3),$

där ζ är Riemanns zetafunktion. Inga liknande formler är kända för högre ordningar, men några något mer komplicerade formler är

${\mathrm{Li}}_4(\frac{1}{2})=\frac{1}{360}{\pi }^4-\frac{1}{24}(\ln 2{)}^4+\frac{1}{24}{\pi }^2(\ln 2{)}^2-\frac{1}{2}\zeta (\overline{3},\overline{1}),$

som innehåller den alternerande dubbelsumman $\zeta (\overline{3},\overline{1})=\sum _{m>n>0}(-1{)}^{m+n}{m}^{-3}{n}^{-1}$. I allmänhet gäller för heltal n ≥ 2

${\mathrm{Li}}_n(\frac{1}{2})=-\zeta (\overline{1},\overline{1},{\left\{1\right\}}^{n-2}),$

där ζ(s₁, ..., s_k) är multipel-zetafunktionen, exempelvis

${\mathrm{Li}}_5(\frac{1}{2})=-\zeta (\overline{1},\overline{1},1,1,1).$

3. Direkt ur polylogaritmens definition följer att

${\mathrm{Li}}_s(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^p{e}^{2\pi imk/p}\zeta (s,\frac{k}{p})(m=1,2,\dots ,p-1),$

där ζ är Hurwitzs zetafunktion.

Integralrepresentationer

För alla komplexa s och z gäller

${\mathrm{Li}}_s(z)=\frac{1}{2}z+\frac{\mathrm{\Gamma }(1-s,-\ln z)}{(-\ln z{)}^{1-s}}+2z\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^2{)}^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}\mathrm{d}t.$

Relation till andra funktioner

• Då z=1 blir polylogaritmen Riemanns zetafunktion:

${\mathrm{Li}}_s(1)=\zeta (s)(\text{Re}(s)>1).$

• Polylogaritmen är även relaterad till Dirichlets etafunktion och Dirichlets betafunktion:

${\mathrm{Li}}_s(-1)=-\eta (s),$

och

${\mathrm{Li}}_s(\pm i)=-2^{-s}\eta (s)\pm i\beta (s).$

• Polylogaritmen är ett specialfall av ofullständiga polylogaritmen:

${\mathrm{Li}}_s(z)={\mathrm{Li}}_s(0,z).$

• Polylogaritmen är ett specialfall av Lerchs transcendent:

${\mathrm{Li}}_s(z)=z\mathrm{\Phi }(z,s,1).$

• Polylogaritmen är också relaterad till Hurwitzs zetafunktion:

${\mathrm{Li}}_s(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1-s)}{(2\pi {)}^{1-s}}[i^{1-s}\zeta (1-s,\frac{1}{2}+\frac{\ln (-z)}{2\pi i})+i^{s-1}\zeta (1-s,\frac{1}{2}-\frac{\ln (-z)}{2\pi i})],$

utom då s=0,1,2,...

• Polylogaritmen är relaterad till Bernoullipolynomen emligt

${\mathrm{Li}}_n(e^{2\pi ix})+(-1{)}^n{\mathrm{Li}}_n(e^{-2\pi ix})=-\frac{(2\pi i{)}^n}{n!}{B}_n(x),$

där 0 ≤ Re(x) < 1 om Im(x) ≥ 0, och 0 < Re(x) ≤ 1 om Im(x) < 0.

• Legendres chifunktion χ_s(z) kan skrivas med hjälp av polylogaritmen::

${\chi }_s(z)=\frac{1}{2}[{\mathrm{Li}}_s(z)-{\mathrm{Li}}_s(-z)].$

• Polylogaritmen av heltalsordning kan skrivas med hjälp av generaliserade hypergeometriska funktionen:

${\mathrm{Li}}_n(z)=z{}_{n+1}{F}_n(1,1,\dots ,1;2,2,\dots ,2;z)(n=0,1,2,\dots )$

${\mathrm{Li}}_{-n}(z)=z{}_n{F}_{n-1}(2,2,\dots ,2;1,1,\dots ,1;z)(n=1,2,3,\dots ).$

• Inversa tangensintegralen Ti_s(z) är relaterad till polylogaritmen enligt

$T{i}_s(z)=\frac{1}{2i}[{\mathrm{Li}}_s(iz)-{\mathrm{Li}}_s(-iz)].$

Av det här följer:

$T{i}_0(z)=\frac{z}{1+z^2},T{i}_1(z)=\arctan z,T{i}_2(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\arctan t}{t}\mathrm{d}t,$

$\dots ,T{i}_{n+1}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{T{i}_n(t)}{t}\mathrm{d}t.$

Gränsvärden

$\underset{|z|\to 0}{\lim }{\mathrm{Li}}_s(z)=z$

$\underset{|\mu |\to 0}{\lim }{\mathrm{Li}}_s(e^{\mu })=\mathrm{\Gamma }(1-s)(-\mu {)}^{s-1}(\mathrm{R}\mathrm{e}(s)<1)$

$\underset{\mathrm{R}\mathrm{e}(\mu )\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{Li}}_s(-e^{\mu })=-\frac{{\mu }^s}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}(s\ne -1,-2,-3,\dots )$

$\underset{\mathrm{R}\mathrm{e}(\mu )\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{Li}}_{-n}(e^{\mu })=-(-1{)}^n{e}^{-\mu }(n=1,2,3,\dots )$

$\underset{\mathrm{R}\mathrm{e}(s)\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{Li}}_s(z)=z$

$\underset{\mathrm{R}\mathrm{e}(s)\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{Li}}_s(e^{\mu })=\mathrm{\Gamma }(1-s)(-\mu {)}^{s-1}(-\pi <\mathrm{I}\mathrm{m}(\mu )<\pi )$

$\underset{\mathrm{R}\mathrm{e}(s)\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{Li}}_s(-e^{\mu })=\mathrm{\Gamma }(1-s)[(-\mu -i\pi {)}^{s-1}+(-\mu +i\pi {)}^{s-1}](\mathrm{I}\mathrm{m}(\mu )=0)$

Övrigt

Definiera $\rho =\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$. Då gäller

${\mathrm{Li}}_2({\rho }^6)=4{\mathrm{Li}}_2({\rho }^3)+3{\mathrm{Li}}_2({\rho }^2)-6{\mathrm{Li}}_2(\rho )+\frac{7}{30}{\pi }^2$

och

${\mathrm{Li}}_2(\rho )=\frac{1}{10}{\pi }^2-{\ln }^2\rho .$

Källor

• Mall:Enwp

Externa länkar

• Mall:Commonscat