Multipel-zetafunktionen

Inom matematiken är multipel-zetafunktionerna generaliseringar av Riemanns zetafunktion definierade som

$\zeta (s_1,\dots ,s_k)=\sum _{n_1>n_2>\cdots >n_k>0}\frac{1}{n_1^{s_1}\cdots n_k^{s_k}}=\sum _{n_1>n_2>\cdots >n_k>0}\prod _{i=1}^k\frac{1}{n_i^{s_i}},$

och konvergerar då Re(s₁) + ... + Re(s_i) > i för alla i. Såsom Riemanns zeta-funktion kan multipel-zetafunktionen fortsättas analytisk till en meromorfisk funktion. Då s₁, ..., s_k är alla positiva heltal (med s₁ > 1) kallas summorna ofta för multipel-zetavärden eller Eulersummor.

Om samma argument förekommer flera gånger brukar man skriva det kompaktare, exempelvis

$\zeta (2,1,2,1,3)=\zeta (\{2,1{\}}^2,3).$

Två parametrar

Med två parametrar är (där s > 1 och n,m heltal)

$\zeta (s,t)=\sum _{n>m\ge 1}\frac{1}{n^s{m}^t}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\sum _{m=1}^{n-1}\frac{1}{m^t}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+1{)}^s}\sum _{m=1}^n\frac{1}{m^t}$

$\zeta (s,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_{n,t}}{(n+1{)}^s}$ där $H_{n,t}$ är de generaliserade harmoniska talen.

En identitet av Euler:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{(n+1{)}^2}=\zeta (2,1)=\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}$

där H_n är de harmoniska talen.

Speciella värden av dubbla zetafunktionen med s > 0 och jämnt, t > 1 och udda, s+t:=2N+1, definiera ζ(0) = 0:

$\zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+\frac{1}{2}[(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+t}{s})-1]\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}[(\genfrac{}{}{0ex}{}{2r}{s-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2r}{t-1})]\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r).$

Eulers reflektionsformel

Multipel-zetafunktionen satisfierar Eulers reflektionsformel:

$\zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)$ för $a,b>1$

Man kan även bevisa att:

$\zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)+2\zeta (a+b+c)-\zeta (a)\zeta (b+c)-\zeta (b)\zeta (a+c)-\zeta (c)\zeta (a+b)$ för $a,b,c>1.$

Andra resultat

För positiva heltal $a,b,\dots ,k$:

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\zeta (n,k)=\zeta (k+1)$ eller mer allmänt

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\zeta (n,a,b,\dots ,k)=\zeta (a+1,b,\dots ,k)$

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\zeta (n,k)=\zeta (n)-1$

$\zeta (a,a)=\frac{1}{2}[(\zeta (a){)}^2-\zeta (2a)]$

$\zeta (a,a,a)=\frac{1}{6}(\zeta (a){)}^3+\frac{1}{3}\zeta (3a)-\frac{1}{2}\zeta (a)\zeta (2a).$

Referenser

• Mall:Enwp

Allmänna källor

• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Bokref
• Mall:Webbref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref