Dirichlets betafunktion

Dirichlets betafunktion är en speciell funktion som är nära relaterad till Riemanns zetafunktion.

Definition

Dirichlets betafunktion definieras som

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^s}.$

En ekvivalent definition är

$\beta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}{e}^{-x}}{1+e^{-2x}}dx.$

I båda fallen antas det att Re(s) > 0.

Dirichlets betafunktion kan definieras för alla komplexa s med hjälp av Hurwitzs zetafunktion:

$\beta (s)=4^{-s}(\zeta (s,\frac{1}{4})-\zeta (s,\frac{3}{4})).$

En annan definition med hjälp av Lerchs transcendent är:

$\beta (s)=2^{-s}\mathrm{\Phi }(-1,s,\frac{1}{2}),$

som också göller för alla komplexa s.

Produktrepresentation

Dirichlets betafunktion kan skrivas som en oändlig produkt för alla komplexa $s$ vars reella del är större än 1:

$\beta (s)=\prod _{p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4}\frac{1}{1-p^{-s}}\prod _{p\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4}\frac{1}{1+p^{-s}}.$

Funktionalekvation

Med hjälp av funktionalekvationen för Dirichlets betafunktion kan den definieras för Re(s)<0. Ekvationen ges av

$\beta (s)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{s-1}\mathrm{\Gamma }(1-s)\cos \frac{\pi s}{2}\beta (1-s)$

där Γ(s) är gammafunktionen.

Speciella värden

Några speciella värden är:

$\beta (0)=\frac{1}{2},$

$\beta (1)=\frac{\pi }{4},$

$\beta (2)=G,$

där G är Catalans konstant;

$\beta (3)=\frac{{\pi }^3}{32},$

$\beta (4)=\frac{1}{768}({\psi }_3(\frac{1}{4})-8{\pi }^4),$

$\beta (5)=\frac{5{\pi }^5}{1536},$

$\beta (7)=\frac{61{\pi }^7}{184320},$

där ${\psi }_3(1/4)$ i exemplet ovan är polygammafunktionen. Mer allmänt gäller det för alla positiva heltal k:

$\beta (2k+1)=\frac{(-1{)}^k{E}_{2k}{\pi }^{2k+1}}{4^{k+1}(2k)!},$

där $E_n$ är Eulertalen. För heltal k ≥ 0 gäller

$\beta (-k)=\frac{E_k}{2}.$

Derivata

En formel för derivatan av Dirichlets betafunktion för $\mathrm{R}\mathrm{e}s>0$ är

${\beta }^{\prime }(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{\ln (2n+1)}{(2n+1{)}^s}.$

Speciella värden är:

${\beta }^{\prime }(-1)=\frac{2G}{\pi }=0,583121\dots$

${\beta }^{\prime }(0)=\ln \frac{{\mathrm{\Gamma }}^2(1/4)}{2\pi \sqrt{2}}=0,391594\dots$

${\beta }^{\prime }(1)=\frac{\pi }{4}(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}))=0,192901\dots$

För alla positiva heltal $n$ gäller formeln:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\ln \frac{(4k+1{)}^{1/(4k+1{)}^n}}{(4k-1{)}^{1/(4k-1{)}^n}}=-{\beta }^{\prime }(n).$

Övriga formler

En dubbelintegral för Dirichlets betafunktion är

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{[-\ln (xy){]}^s}{1+x^2{y}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{\Gamma }(s+2)\beta (s+2).$