Oändlig produkt

En oändlig produkt är inom matematiken en produkt som innehåller ett oändligt antal faktorer. Om a_n betecknar den nte faktorn, kan en sådan produkt skrivas

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1{a}_2{a}_3\cdots .$

Konvergens

Det finns två fall då denna produkt sägs konvergera:

• $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{n=1}^N{a}_n=P\ne 0$, eller
• Endast ett ändligt antal $a_n$ är lika med 0.

Om något av dessa fall är uppfyllt sägs produkten vara konvergent; i annat fall är den divergent.

Exempel på divergenta produkter

Produkterna

• $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ och
• $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}0$

är inte konvergenta.

Krav för konvergens

Om $a_n>0$ så konvergerar $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$ om och endast om $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergerar.

Exempel

Exempel på välkända oändliga produkter är Viètes formel för talet π,

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$,

och Wallis formel för detsamma,

$\frac{\pi }{2}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots .$