Produkt (matematik)

Mall:Matematiska operationer Produkt är resultatet av multiplikation för olika matematiska objekt.

Produkt av tal

Resultat av en multiplikation

Resultatet av en multiplikation kallas produkt. I uttrycket

$a\cdot b=c$

kallas a och b faktorer medan c kallas produkt.

Produkttecken

Om ett större antal faktorer ska multipliceras ihop, kan produkten ibland skrivas förkortat.

$\prod _{k=a}^{b}f(k)$

betyder produkten av alla faktorer f(k) där k varierar från a till b. Tecknet ∏ är den grekiska bokstaven pi och kallas här produkttecken. Produktnotationen är särskilt användbar beträffande produkter med oändligt eller okänt antal faktorer.

Som exempel kan produkten

$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot n$,

det vill säga n-fakultet, skrivas

$n!=\prod _{x=1}^{n}x$.

Produkt av vektorer

Vektorer kan multipliceras till skalärprodukter och vektorprodukter (till exempel en kryssprodukt). Inom funktionalanalysen kan ett funktionsrum definiera en inre produkt och en yttre produkt.

Cartesisk produkt

Mall:Huvudartikel Produkten (även kallad den cartesiska produkten) av två mängder $A$ och $B$ är mängden av alla ordnade par ($a$, $b$) vars första element $a$ finns i $A$ och vars andra element $b$ finns i $B$. Produkten av $A$ och $B$ skrivs $A\times B$, så definitionen kan sammanfattas $A\times B=\{(a,b):a\in A\wedge b\in B\}$.

Man kan också bilda cartesiska produkter av ett större antal mängder. Produkten A × B × C av de tre mängderna A, B och C består av alla trippler (a,b,c), där a ∈ A, b ∈ B och c ∈ C. Allmänt gäller att om (M_i)_i∈I är en familj av mängder över en indexmängd av godtycklig storlek, så definieras den cartesiska produkten av denna familj genom

$\prod _{i\in I}{M}_i=\{(x_i{)}_{i\in I}:x_i\in M_i\text{ för }i\in I\}$.

När indexmängden består av de n första positiva heltalen, alltså I = { 1, 2, ..., n}, så skrivs produkten hellre som

$\prod _{i=1}^n{M}_i=M_1\times \dots \times M_n=\{(x_1,\dots ,x_n):x_i\in M_i\text{ för }i=1,\dots ,n\}$.

Formellt sett torde till exempel A × B × C, (A × B) × C och A × (B × C) vara olika mängder, eftersom oftast (a,b,c), ((a,b),c) och (a,(b,c)) definieras på ett sådant sätt att de är olika. I praktiken behandlar man dock i allmänhet dessa som samma mängd genom att man identifierar trippeln och de två "blandade" paren.

Produkten A × A kan också skrivas A², A × A × A skrivs också A³, och så vidare. En vanlig tillämpning är beteckningen för reella talplanet, ${ℝ}^2$ eller R².

Exempel:

• {a, b, c} × {d, e} = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)}

Referenser

Källor

• Mall:Bokref

Se även

För tal:

• Tom produkt
• Räknesätt
• Aritmetik
• Summa
• Differens
• Kvot

För mängder:

• Mängdoperation
• Mängdteori
• Produktmetoden