Catalans konstant

Catalans konstant är en matematisk konstant som definieras som

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots$

där β är Dirichlets betafunktion.

Dess approximativa värde är

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

Catalans konstant är uppkallad efter Eugène Charles Catalan.

Integralrepresentationer

Catalans konstant har ett flertal integralrepresentationer:

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2{y}^2}dxdy$

$G=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt$

$G=\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\frac{t}{\sin t\cos t}dt$

$G=\frac{1}{4}\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{t}{\sin t}dt$

$G=\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\ln (\cot (t))dt$

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t}{\cosh t}dt$

$G=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan (e^{-t})dt$

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arctan t}{t}dt.$

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{K}(t)dt$

där K(t) är en fullständig elliptisk integral.

Oändliga serier

Catalans konstant har även ett flertal representationer som en oändlig serie:

$G=\frac{1}{16}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)\frac{3^n-1}{4^n}\zeta (n+2)$

$G=\frac{1}{64}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}\cdot 2^{8n}\cdot (40n^2-24n+3)\cdot (2n){!}^3\cdot n{!}^2}{n^3\cdot (2n-1)\cdot (4n){!}^2}$

$\begin{array}{cc}G& =3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{4n}}(-\frac{1}{2(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^2(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^3(8n+5{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^4(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2(8n+1{)}^2})\\ & -2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{12n}}(\frac{1}{2^4(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^6(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^9(8n+5{)}^2}-\frac{1}{2^{10}(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^{12}(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+1{)}^2})\end{array}.$

och

$G=\frac{1}{8}\pi \log (2+\sqrt{3})+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n!{)}^2}{(2n)!(2n+1{)}^2}.$

Relation till speciella funktioner

Catalans konstant förekommer i speciella värden av trigammafunktionen:

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8G$

${\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)={\pi }^2-8G.$

Förutom polygammafunktionerna är den är nära relaterad Clausens funktion, inversa tangensintegralen, inversa sinusintegralen, Barnes G-funktion samt serier och integraler relaterade till de ovannämnda funktionerna.

Bland annat gäller följande relation mellan Bernes G-funktion och gammafunktionen:

$G=4\pi \log \left(\frac{G(\frac{3}{8})G(\frac{7}{8})}{G(\frac{1}{8})G(\frac{5}{8})}\right)+4\pi \log \left(\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{8})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{8})}\right)+\frac{\pi }{2}\log \left(\frac{1+\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}\right).$

Catalans konstant är även relaterad till Lerchs transcendent enligt

$G=\frac{1}{4}\mathrm{\Phi }(-1,2,\frac{1}{2}).$