Trigammafunktionen

Trigammafunktionen ${\psi }_1(z)$ i det komplexa planet. Färgen på en punkt $z$ kodar värdet av ${\psi }_1(z)$. Starka färger anger värden nära noll och nyans kodar värdets argument.

Trigammafunktionen är en speciell funktion som definieras som

${\psi }_1(z)=\frac{d^2}{d{z}^2}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$.

Den kan även definieras som serien

${\psi }_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^2}.$

Integralrepresentationer

En dubbelintegral för trigammafunktionen är

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{x^{z-1}y}{1-x}dxdy.$

Med partiell integrering får man:

${\psi }_1(z)=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}dx.$

Funktionalekvationer

Trigammafunktionen satisfierar funktionalekvationerna

${\psi }_1(z+1)={\psi }_1(z)-\frac{1}{z^2}$

och

${\psi }_1(kz)=\frac{1}{k^2}\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }_1(z+\frac{n}{k})$

samt reflektionsformeln

${\psi }_1(1-z)+{\psi }_1(z)={\pi }^2{\csc }^2(\pi z).$

Speciella värden

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8G$

${\psi }_1\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}{\pi }^2+3\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right)$

${\psi }_1\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}{\pi }^2$

${\psi }_1\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}{\pi }^2-3\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right)$

${\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)={\pi }^2-8G$

${\psi }_1(1)=\frac{1}{6}{\pi }^2$

${\psi }_1\left(\frac{1}{6}\right)=2{\pi }^2+15\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right)$

${\psi }_1\left(\frac{5}{6}\right)=2{\pi }^2-15\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right)$

${\psi }_1\left(\frac{1}{8}\right)=(2+\sqrt{2}){\pi }^2+4(4-\sqrt{2})G+16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right)$

${\psi }_1\left(\frac{3}{8}\right)=(2-\sqrt{2}){\pi }^2-4(4+\sqrt{2})G+16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right)$

${\psi }_1\left(\frac{5}{8}\right)=(2-\sqrt{2}){\pi }^2+4(4+\sqrt{2})G-16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right)$

${\psi }_1\left(\frac{7}{8}\right)=(2+\sqrt{2}){\pi }^2-4(4-\sqrt{2})G-16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right)$

${\psi }_1\left(\frac{5}{4}\right)={\pi }^2+8G-16$

${\psi }_1\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}{\pi }^2-4$

${\psi }_1(2)=\frac{1}{6}{\pi }^2-1$

där G är Catalans konstant och ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{\mathrm{2}}$ är Clausens funktion.

Övriga formler

En intressant formel där trigammafunktionen förekommer är

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2-\frac{1}{2}}{{(n^2+\frac{1}{2})}^2}[{\psi }_1(n-\frac{i}{\sqrt{2}})+{\psi }_1(n+\frac{i}{\sqrt{2}})]=-1+\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \coth \left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right)-\frac{3{\pi }^2}{4{\sinh }^2\left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right)}+\frac{{\pi }^4}{12{\sinh }^4\left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right)}(5+\cosh \left(\pi \sqrt{2}\right)).$

Externa länkar

• Mall:Commonscat