Barnes G-funktion

Barnes G-funktion är en speciell funktion som definieras som

$G(z+1)=(2\pi {)}^{z/2}\exp (-(z(z+1)+\gamma z^2)/2)\times \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[{(1+\frac{z}{n})}^n\exp (-z+z^2/(2n))]$

där γ är Eulers konstant. Funktionen är uppkallad efter Ernest William Barnes.

Funktionalekvationer

Barnes G-funktion satisfierar funktionalekvationerna

$G(z+1)=\mathrm{\Gamma }(z)G(z)$

och

$G(1-z)=G(1+z)\frac{1}{(2\pi {)}^z}\exp \underset{0}{\overset{z}{\int }}\pi z\cot \pi z\mathrm{d}z.$

Multiplikationsformel

Barnes G-funktion satisfierar multiplikationsformeln

$G(nz)=K(n)n^{n^2{z}^2/2-nz}(2\pi {)}^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G(z+\frac{i+j}{n})$

där $K(n)$ ges av

$K(n)=e^{-(n^2-1){\zeta }^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi {)}^{(n-1)/2}=(A{e}^{-\frac{1}{12}}{)}^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi {)}^{(n-1)/2}.$

Taylorserie

För $|z|<1$ gäller Taylorserien

$\ln G(1+z)=\frac{1}{2}(\ln (2\pi )-1)-(1-\gamma )\frac{z^2}{2}+\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\zeta (n-1)\frac{z^n}{n}$

där $\zeta (s)$ är Riemanns zetafunktion.

Speciella värden

$G(1/4)=A^{-9/8}{(\mathrm{\Gamma }(1/4))}^{-3/4}{e}^{3/32-G/(4\pi )}$

$G(3/4)=A^{-9/8}{(\mathrm{\Gamma }(3/4))}^{-1/4}{e}^{3/32+G/(4\pi )}$

$G(1/2)=A^{-3/2}{\pi }^{-1/4}{e}^{1/8}{2}^{1/24}$

$G(3/2)=A^{-3/2}{\pi }^{1/4}{e}^{1/8}{2}^{1/24}$

$G(5/2)=A^{-3/2}{\pi }^{3/4}{e}^{1/8}{2}^{-23/24}$

där G är Catalans konstant och A är Glaisher–Kinkelins konstant.

Asymptotisk expansion

Logaritmen för Barnes G-funktion har följande asymptotiska expansion:

$\log G(z+1)=\frac{1}{12}-\log A+\frac{z}{2}\log 2\pi +(\frac{z^2}{2}-\frac{1}{12})\log z-\frac{3z^2}{4}+\sum _{k=1}^N\frac{B_{2k+2}}{4k(k+1)z^{2k}}+O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).$

Relation till gammafunktionens integral

Integralen av gammafunktionens logaritm kan ges med hjälp av Barnes G-funktion:

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log \mathrm{\Gamma }(x)dx=\frac{z(1-z)}{2}+\frac{z}{2}\log 2\pi +z\log \mathrm{\Gamma }(z)-\log G(1+z).$

Formeln kan bevisas genom att först ta logaritmen av gammafunktionens och G-funktionens produktrepresentationer:

$z\log \mathrm{\Gamma }(z)-\log G(1+z)=-z\log \left(\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}\right)-\log G(1+z)=$

$-z[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{\log (1+\frac{z}{k})-\frac{z}{k}\left\}\right]$

$-[\frac{z}{2}\log 2\pi -\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}-\frac{z^2\gamma }{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{k\log (1+\frac{z}{k})+\frac{z^2}{2k}-z\left\}\right]$

och med lite förenkling får man

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{(k+z)\log (1+\frac{z}{k})-\frac{z^2}{2k}-z\}=$

$-z\log z-\frac{z}{2}\log 2\pi +\frac{z}{2}+\frac{z^2}{2}-\frac{z^2\gamma }{2}-z\log \mathrm{\Gamma }(z)+\log G(1+z)$

Slutligen tar man logaritmen av gammafunktionens produktrepresentation och integrerar över $[0,z]$ :

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log \mathrm{\Gamma }(x)dx=-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log \left(\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}\right)dx=$

$-(z\log z-z)-\frac{z^2\gamma }{2}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{(k+z)\log (1+\frac{z}{k})-\frac{z^2}{2k}-z\}$

Eftersom de två uttrycken är identiska är

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log \mathrm{\Gamma }(x)dx=\frac{z(1-z)}{2}+\frac{z}{2}\log 2\pi +z\log \mathrm{\Gamma }(z)-\log G(1+z).◻$