Glaisher–Kinkelins konstant

Glaisher–Kinkelins konstant är en matematisk konstant som förekommer i ett antal oändliga produkter och integraler relaterade till flera speciella funktioner. Den är uppkallad efter matematikerna James Whitbread Lee Glaisher och Hermann Kinkelin.

Glaisher–Kinkelins konstant kan definieras som

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{K(n+1)}{n^{n^2/2+n/2+1/12}{e}^{-n^2/4}}$

där$K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}{k}^k$ är K-funktionen. En ekvivalent definition är

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(2\pi {)}^{n/2}{n}^{n^2/2-1/12}{e}^{-3n^2/4+1/12}}{G(n+1)}$

där $G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!=\frac{{[\mathrm{\Gamma }(n)]}^{n-1}}{K(n)}$ är Barnes G-funktion.

Dess approximativa värde är

$A\approx 1.2824271291\dots$.

Glaisher-Kinkelins konstant förekommer även i specifika värden av Riemanns zetafunktion:

${\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{12}-\ln A$

$\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln k}{k^2}=-{\zeta }^{\prime }(2)=\frac{{\pi }^2}{6}[12\ln A-\gamma -\ln (2\pi )]$

där $\gamma$ är Eulers konstant. Några integraler innehållande den är

$\underset{0}{\overset{1/2}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(x)dx=\frac{3}{2}\ln A+\frac{5}{24}\ln 2+\frac{1}{4}\ln \pi$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\ln x}{e^{2\pi x}-1}dx=\frac{1}{2}{\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\ln A$

En oändlig serie för den är

$\ln A=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{(-1)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){(k+1)}^2\ln (k+1)$.

Referenser

• Mall:Enwp