Hurwitzs zetafunktion

Mall:Källor Hurwitzs zetafunktion är en speciell funktion som generaliserar Riemanns zetafunktion. Den är uppkallad efter Adolf Hurwitz. Då Re(s) > 1 och Re(q) > 0 är dess definition

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(q+n{)}^s}.$

Serierepresentation

En serierepresentation för q > −1 och alla komplexa s ≠ 1 av Helmut Hasse år 1930:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}.$

Taylorserie

Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion är

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}\frac{{\partial }^k}{\partial x^k}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+k-1}{s-1})(-y{)}^k\zeta (s+k,x).$

Laurentserie

Laurentserien för $s=1$ är:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{\gamma }_n(q)}{n!}(s-1{)}^{n}0<q\le 1$

där ${\gamma }_n(q)$ är Stieltjeskonstanterna:

${\gamma }_n(q):=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^N\frac{{\log }^n(k+q)}{k+q}-\frac{{\log }^{n+1}(N+q)}{n+1})n=0,1,2,\dots$

Fourierserie

$\zeta (s,a)=2(2\pi {)}^{s-1}\mathrm{\Gamma }(1-s)(\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (2\pi ak)}{k^{1-s}}+\cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2\pi ak)}{k^{1-s}})\mathrm{R}\mathrm{e}(s)<1\text{ och }0<a\le 1$

Integralrepresentationer

Då $\mathrm{\Re }s>1$ och $\mathrm{\Re }q>0$ kan Hurwitzs zetafunktion skrivas som

$\zeta (s,q)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{e}^{-qt}}{1-e^{-t}}dt.$

En annan integral är

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x})dx=\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s,a)$

som gäller för $0<Re(s)<1$.

Hurwitzs formel

Hurwitzs formel är teoremet

$\zeta (1-s,x)=\frac{1}{2s}[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)]$

där

$\beta (x;s)=2\mathrm{\Gamma }(s+1)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi inx)}{(2\pi n{)}^s}=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s+1)}{(2\pi {)}^s}{\text{Li}}_s(e^{2\pi ix})$

är en representation som gäller för $0\le x\le 1$ and s > 1. Här är ${\text{Li}}_s(z)$ polylogaritmen.

Funktionalekvation

För alla $s$ och $1\le m\le n$ gäller

$\zeta (1-s,\frac{m}{n})=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s)}{(2\pi n{)}^s}\sum _{k=1}^n\cos (\frac{\pi s}{2}-\frac{2\pi km}{n})\zeta (s,\frac{k}{n}).$

Speciella värden

$\zeta (s,-1)=\zeta (s)+1$

$\zeta (s,2)=\zeta (s)-1$

$\zeta (s,0)=\zeta (s,1)$

$\zeta (s,\frac{m}{n})=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{n}^s\cdot {\mathrm{L}\mathrm{i}}_s\left(e^{\frac{2\pi \mathrm{i}k}{n}}\right)e^{-\frac{2\pi \mathrm{i}km}{n}}m,n\in {\mathbb{N}}^{+}\text{ och }m\le n$

$\zeta (0,a)=\frac{1}{2}-a$

$\zeta (2,\frac{1}{4})={\pi }^2+8G$

$\zeta (2,\frac{1}{2}+\frac{x}{\pi })+\zeta (2,\frac{1}{2}-\frac{x}{\pi })=\frac{{\pi }^2}{{\cos }^{2}x}$

G är Catalans konstant.

Relation till andra funktioner

Bernoullipolynomen

Hurwitz zeta-funktion är relaterad till Bernoullipolynomen enligt

$\zeta (-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.$

Jacobis thetafunktion

Om $\vartheta (z,\tau )$ är Jacobis thetafunktion är

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (z,\mathrm{i}t)-1]t^{s/2}\frac{\mathrm{d}t}{t}={\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)]\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>0\text{ och }z\in ℂ\setminus \mathbb{Z}.$

Specialfall och generaliseringar

Hurwitzs zeta-funktion vid icke-negativa heltal m är relaterad till polygammafunktionen:

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

För negativa heltal −n kan Hurwitzs zetafunktion uttryckas med hjälp av Bernoullipolynomen:

$\zeta (-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.$

Barnes zetafunktion är en generalisering av Hurwitzs zetafunktion.

En annan generalisering är Lerchs transcendent:

$\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(k+q{)}^s}$

$\zeta (s,q)=\mathrm{\Phi }(1,s,q).$

Andra generaliseringar är generaliserade hypergeometriska funktionen

$\zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}{F}_s(1,a_1,a_2,\dots a_s;a_1+1,a_2+1,\dots a_s+1;1)$ där $a_1=a_2=\dots =a_s=a\text{ och }a\notin \mathbb{N}\text{ och }s\in {\mathbb{N}}^{+}$

samt Meijers G-funktion

$\zeta (s,a)=G{}_{s+1,s+1}^{1,s+1}(-1\left|\begin{array}{c}0,1-a,\dots ,1-a\\ 0,-a,\dots ,-a\end{array}\right)s\in {\mathbb{N}}^{+}.$