Polygammafunktionen

Polygammafunktionen av ordning m är en meromorfisk funktion definierad i $ℂ$ och definieras som den (m+1):sta derivatan av gammafunktionens logaritm:

${\psi }^{(m)}(z):=\frac{d^m}{d{z}^m}\psi (z)=\frac{d^{m+1}}{d{z}^{m+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z).$

Specialfallen m=0 och m=1 kallas digammafunktionen och trigammafunktionen.

Integralrepresentation

Polygammfunktionen kan skrivas som integralen

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^m{e}^{-zt}}{1-e^{-t}}dt$

för Re z >0 och m > 0. Då m=0, det vill säga då det är fråga om digammafunktionen, gäller integralrepresentationen

$\psi (x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}})dt$.

Serierepresentationer

Polygammafunktionen kan skrivas som den oändliga serien

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{m+1}}$

för m > 0 och alla komlexa z som inte är negativa heltal. Med hjälp av Hurwitzs zetafunktion kan serien skrivas kortare som

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

En annan serie kan fås på följande vis. Eftersom

$1/\mathrm{\Gamma }(z)=z{\text{e}}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n}){\text{e}}^{-z/n}$

fås genom logaritmering

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=-\gamma z-\ln (z)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{z}{n}-\ln (1+\frac{z}{n}))$

och slutligen

${\psi }^{(n)}(z)=\frac{d^{n+1}}{d{z}^{n+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=-\gamma {\delta }_{n0}-\frac{(-1{)}^{n}n!}{z^{n+1}}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k}{\delta }_{n0}-\frac{(-1{)}^{n}n!}{(k+z{)}^{n+1}})$

där ${\delta }_{n0}$ är Kroneckers delta.

Taylorserie

Taylorserien vid z = 1 är

${\psi }^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}\frac{(m+k)!}{k!}\zeta (m+k+1)z^{k}m\ge 1$

och

${\psi }^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\zeta (k+1)z^k$

som konvergerar för |z| < 1. ζ är Riemanns zetafunktion. Serien kan lätt bevisas med hjälp av Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion.

Differensekvation

Polygammafunktionen satisfierar differensekvationen

${\psi }^{(m)}(z+1)={\psi }^{(m)}(z)+\frac{(-1{)}^{m}m!}{z^{m+1}}.$

Reflektionsformel

Polygammafunktionen satisfierar reflektionsformeln

$(-1{)}^m{\psi }^{(m)}(1-z)-{\psi }^{(m)}(z)=\pi \frac{d^m}{d{z}^m}\cot (\pi z).$

Multiplikationsteorem

Multiplikationsteoremet för polygammafunktionen är

$k^{m+1}{\psi }^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }^{(m)}(z+\frac{n}{k})m\ge 1$

och

$k{\psi }^{(0)}(kz)=k\log (k))+\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }^{(0)}(z+\frac{n}{k}).$

Speciella värden

${\psi }^{(m)}(1)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1),m>0$

${\psi }^{(m)}(\frac{1}{2})=(-1{)}^{m+1}m!(2^{m+1}-1)\zeta (m+1),m>0,$

$\psi (1)={\psi }^{(0)}(1)=-\gamma$

$\psi (\frac{1}{2})={\psi }^{(0)}(\frac{1}{2})=-\gamma -2\ln 2$

Generalisering

En generalisering av polygammafunktionen för $s\in ℂ$ och $z\in ℂ\setminus -{\mathbb{N}}_0$ är

${\psi }_s(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-s)}(\frac{\partial }{\partial s}+\psi (-s)+\gamma )\zeta (s+1,z)={\mathrm{e}}^{-\gamma s}\frac{\partial }{\partial s}\left({\mathrm{e}}^{\gamma s}\frac{\zeta (s+1,z)}{\mathrm{\Gamma }(-s)}\right).$

Den satisfierar differensekvationen

${\psi }_s(z+1)={\psi }_s(z)+\frac{\ln z-\psi (-s)-\gamma }{\mathrm{\Gamma }(-s)}{z}^{-(s+1)}$

där $\gamma$ är Eulers konstant.

Multiplikationsformeln är

$\sum _{k=0}^{n-1}{\psi }_s\left(\frac{z+k}{n}\right)=n^{s+1}{\psi }_s(z)+\frac{n^{s+1}\ln n}{\mathrm{\Gamma }(-s)}\zeta (s+1,z).$

Externa länkar

• Mall:Commonscat