Digammafunktionen

Digammafunktionen är en speciell funktion som definieras som gammafunktionens logaritmiska derivata:

$\psi (x)=\frac{d}{dx}\ln \mathrm{\Gamma }(x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$

Relation till harmoniska tal

Digammafunktionen är relaterad till harmoniska talen enligt

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$

där H_n är set n:te harmoniska talet, och γ är Eulers konstant.

Integralrepresentation

Om reella delen av $x$ är positiv kan digammafunktionen skrivas som integralerna

$\psi (x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}})dt$

och

$\psi (s+1)=-\gamma +\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^s}{1-x}dx.$

Serierepresentation

Det finns ett flertal oändliga serier för digammafunktionen:

$\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z}{n(n+z)}z\ne -1,-2,-3,\dots$

Taylorserien är

$\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\zeta (k+1)(-z{)}^k$,

som konvergerar för |z|<1. En annan serie är

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k}).$

Reflektionsformel

Digammfunktionen satisfierar reflektionsformeln

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \left(\pi x\right).$

Gauss digammasats

För positiva heltal m och k med m < k gäller

$\psi \left(\frac{m}{k}\right)=-\gamma -\ln (2k)-\frac{\pi }{2}\cot \left(\frac{m\pi }{k}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor }\cos \left(\frac{2\pi nm}{k}\right)\ln (\sin \left(\frac{n\pi }{k}\right)).$

Beräkning och approximering

Digammafunktionen kan approximeras som

$\psi (x)=\ln (x)-\frac{1}{2x}-\frac{1}{12x^2}+\frac{1}{120x^4}-\frac{1}{252x^6}+\frac{1}{240x^8}-\frac{5}{660x^{10}}+\frac{691}{32760x^{12}}-\frac{1}{12x^{14}}+O\left(\frac{1}{x^{16}}\right)$

som är början av dess asymptotiska expansion. Hela expansionen ges av

$\psi (x)=\ln (x)-\frac{1}{2x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (1-2n)}{x^{2n}}=\ln (x)-\frac{1}{2x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}}{2n{x}^{2n}}$

där $B_k$ är det k-te Bernoullitalet och $\zeta$ är Riemanns zetafunktion.

Speciella värden

$\psi (1)=-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{2}\right)=-2\ln 2-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{\pi }{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln 3-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi }{2}-3\ln 2-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{6}\right)=-\frac{\pi }{2}\sqrt{3}-2\ln 2-\frac{3}{2}\ln (3)-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{8}\right)=-\frac{\pi }{2}-4\ln 2-\frac{1}{\sqrt{2}}\{\pi +\ln (2+\sqrt{2})-\ln (2-\sqrt{2})\}-\gamma$

Externa länkar

• Mall:Commonscat