Bernoullipolynom

Bernoullipolynomen är en serie polynom som är relaterade till ett flertal speciella funktioner.

Representationer

Explicit formel

$B_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_{n-k}{x}^k,$

då n ≥ 0, där B_k är Bernoullitalen. En annan formel som inte innehåller Bernoullitalen är

$B_m(x)=\sum _{n=0}^m\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+k{)}^m.$

Genererande funktion

Bernoullipolynomens genererande funktion är

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Övrigt

Bernoullipolynomen är de unika polynomen så att

$\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}{B}_n(u)du=x^n.$

De första Bernoullipolynomen

De första Bernoullipolynomen är

$B_0(x)=1$

$B_1(x)=x-1/2$

$B_2(x)=x^2-x+1/6$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{6}x$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}.$

Differenser och derivator

Bernoullipolynomens differenser är

$\mathrm{\Delta }{B}_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=n{x}^{n-1}.$

Deras derivator är

${B_n}^{\prime }(x)=n{B}_{n-1}(x).$

Formler

$B_n(1-x)=(-1{)}^n{B}_n(x),n\ge 0,$

$(-1{)}^n{B}_n(-x)=B_n(x)+n{x}^{n-1}$

$B_n(x)=2^{n-1}(B_n\left(\frac{x}{2}\right)+B_n\left(\frac{x+1}{2}\right))$

$B_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k(x)y^{n-k}$

$B_n(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}{B}_n(x+\frac{k}{m})$

$x^n=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})B_k(x)$

En formel som relaterar Bernoulipolynomen med den fallande fakulteten är

$B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^n\frac{n+1}{k+1}\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}(x{)}_{k+1}$

där $B_n=B_n(0)$ och

$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}=S(n,k)$

är Stirlingtalen av andra ordningen.

En formel av Zhi-Wei Sun och Hao Pan är följande: om r + s + t = n och x + y + z = 1 är

$r[s,t;x,y{]}_n+s[t,r;y,z{]}_n+t[r,s;z,x{]}_n=0,$

där

$[s,t;x,y{]}_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{n-k})B_{n-k}(x)B_k(y).$

Integraler

Bernoullipolynomens integral ges av

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}{B}_n(t)dt=\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}.$

Integralen för produkten av två Bernoullipolynom över intervallet [0,1] ges av

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(t)B_m(t)dt=(-1{)}^{n-1}\frac{m!n!}{(m+n)!}{B}_{n+m}\text{ då }m,n\ge 1.$

Se även

• Bernoullital