Stieltjeskonstanter

Inom matematiken är Stieltjeskonstanterna ${\gamma }_n$ en serie konstanter som förekommer i Laurentexpansionen av Riemanns zetafunktion:

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(s-1{)}^n.$

Den nollte konstanten ${\gamma }_0=\gamma =0.577\dots$ är känd som Eulers konstant.

Representationer

Stieltjeskonstanterna ges av ett gränsvärde

${\gamma }_n=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\left(\sum _{k=1}^m\frac{(\ln k{)}^n}{k}\right)-\frac{(\ln m{)}^{n+1}}{n+1}).$

(Fallet n = 0 kräver att den första summanden erfordrar evalveringen 0⁰, vilket antas vara 1.)

Cauchys differentialformel leder till integralrepresentationen

${\gamma }_n=\frac{(-1{)}^{n}n!}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{-nix}\zeta (e^{ix}+1)dx.$

Numeriska värden

De första värdena är

n	Ungefärligt värde av γn	OEIS
0	+0,5772156649015328606065120900824024310421593359	Mall:OEIS link
1	−0,0728158454836767248605863758749013191377363383	Mall:OEIS link
2	−0,0096903631928723184845303860352125293590658061	Mall:OEIS link
3	+0,0020538344203033458661600465427533842857158044	Mall:OEIS link
4	+0,0023253700654673000574681701775260680009044694	Mall:OEIS link
5	+0,0007933238173010627017533348774444448307315394	Mall:OEIS link
6	−0,0002387693454301996098724218419080042777837151	Mall:OEIS link
7	−0,0005272895670577510460740975054788582819962534	Mall:OEIS link
8	−0,0003521233538030395096020521650012087417291805	Mall:OEIS link
9	−0,0000343947744180880481779146237982273906207895	Mall:OEIS link
10	+0,0002053328149090647946837222892370653029598537	Mall:OEIS link
100	−4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000	−1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000	−2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000	+1,9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432

För stora n så ökar Stieltjeskonstanterna snabbt i absoluta värden och ändrar tecken i ett komplext mönster.

Över 10000 siffror i decimalutvecklingarna, för numeriska värden av Stieltjeskonstanter upp till n = 100000, har beräknats av Johansson. De numeriska värdena kan hämtas från LMFDB [1].

Asymptotisk ökning

Stieltjeskonstanter uppfyller

$|{\gamma }_n|<\frac{4(n-1)!}{{\pi }^n,}$

vilket bevisades av Berndt. En mycket tätare gräns, giltig för $n\ge 10$, gavs av Matsuoka:

$|{\gamma }_n|<0.0001e^{n\log \log n}$

Knessl och Coffey gav en formel som efterliknar Stieltjeskonstanter exakt för stora n. Om v är den unika lösningen av

$2\pi \exp (v\tan v)=n\frac{\cos (v)}{v}$

med $0<v<\pi /2$, och om $u=v\tan v$, så är

${\gamma }_n\sim \frac{B}{\sqrt{n}}{e}^{nA}\cos (an+b)$

där

$A=\frac{1}{2}\log (u^2+v^2)-\frac{u}{u^2+v^2}$

$B=\frac{2\sqrt{2\pi }\sqrt{u^2+v^2}}{[(u+1{)}^2+v^2{]}^{1/4}}$

$a={\tan }^{-1}\left(\frac{v}{u}\right)+\frac{v}{u^2+v^2}$

$b={\tan }^{-1}\left(\frac{v}{u}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{v}{u+1}\right).$

Upp till $n=10^5$ förmodar Knessl–Coffey approximation med korrekt tecken, med det enda undantaget för $n=137$.

Generaliserade Stieltjeskonstanter

Mer generellt kan man definiera Stieltjeskonstanter ${\gamma }_k(a)$ som förekommer i Laurentserien som utvidgning av Hurwitzs zeta-funktion:

$\zeta (s,a)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(a)(s-1{)}^n.$

Låt a vara ett komplext tal med Re(a) > 0. Eftersom Hurwitzs zeta-funktion är en generalisering av Riemanns zeta-funktion har vi

${\gamma }_n(1)={\gamma }_n.$

Referenser

• Mall:Enwp

Källor

• Mall:MathWorld
• Mall:Webbref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Webbref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Webbref