Eulertal

Mall:Källor Mall:Hänvisning Eulertalen är heltalsföljd som förekommer i samband med Taylorserier samt i talteori och kombinatorik. Dessvärre finns flera olika konventioner för vad som avses med det n-te Eulertalet: ofta tar man med nollor och negativa tecken i sekvensen, för vilket beteckningen E_n kommer att användas i följande text, medan man i andra tillämpningar bara är intresserad av de nollskilda Eulertalens absolutvärden (här E*_n). Med nämnda beteckningar gäller

E*1 = 1 E*2 = 5 E*3 = 61 E*4 = 1385 E*5 = 50521 E*6 = 2702765 E*7 = 199360981 E*8 = 19391512145 E*9 = 2404879675441 E*10 = 370371188237525 E*11 = 69348874393137901

E0 = 1 E2 = −1 E4 = 5 E6 = −61 E8 = 1385 E10 = −50521 E12 = 2702765 E14 = −199360981 E16 = 19391512145   E1, 3, 5, ... = 0

och sambandet

$E_{2n}=(-1{)}^n{E}_n^{*}.$

Talen definieras av de genererande funktionerna

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|E_k|\frac{x^k}{k!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_k^{*}\frac{x^{2k}}{(2k)!}=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\frac{277x^8}{8064}+\dots$

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_k\frac{x^k}{k!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{E}_k^{*}\frac{x^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\frac{277x^8}{8064}-\dots$

där sec betecknar den trigonometriska funktionen 1/cos och sech motsvarande hyperboliska funktion 1/cosh.

Eulertalen förekommer även som specifika värden för Eulerpolynomen.

Asymptotiskt växer talen som

$E_{2n}\sim (-1{)}^{n}8\sqrt{\frac{n}{\pi }}{\left(\frac{4n}{\pi e}\right)}^{2n}.$

De kan även beräknas med integralen

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\ln }^n(x)}{1+x^2}dx=|E_n|{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{n+1}.$

Explicita formler

Ändlig summa

Eulertalen ges av formeln

$E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\frac{(-1{)}^j(k-2j{)}^{2n+1}}{2^k{i}^{k}k}$

där i är den imaginära enheten.

Determinant

E_2n kan även definieras som determinanten

$\begin{array}{cc}{E}_{2n}& =(-1{)}^n(2n)!\left|\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2!}& 1& & & \\ \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}& 1& & \\ ⋮& & \ddots & \ddots & \\ \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& & \frac{1}{2!}& 1\\ \frac{1}{(2n)!}& \frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}\end{array}\right|.\end{array}$

Se även

• Bernoullital