Dirichlets etafunktion

Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie, som konvergerar för alla komplexa tal vars reella del > 0:

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+\cdots$

Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zetafunktion förutom att termerna har alternerande tecken. Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*(s). Följande enkla relation gäller:

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s).$

Etafunktionen kan även definieras som integralen

$\eta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x+1}dx.$

Eulerprodukt

För $\mathrm{R}\mathrm{e}s>1$ gäller

$\eta (s)=(1-\frac{1}{2^{s-1}})\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}=(1-\frac{1}{2^{s-1}})\cdot \frac{1}{(1-\frac{1}{2^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{5^s})\cdots }.$

Integralrepresentationer

Det finns ett flertal integralrepresentationer för etafunktionen. Följande formler gäller för $\mathrm{\Re }s>0.$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(s)\eta (s)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x+1}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{s-2}}{e^x+1}dydx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(t+r{)}^{s-2}}{e^{t+r}+1}drdt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(-\log (xy){)}^{s-2}}{1+xy}dxdy.\end{array}$

Följande formel kan bevisas med hjälp av Cauchy–Schlömilchs transformation, som gäller för $\mathrm{\Re }s>-1$:

$2^{1-s}\mathrm{\Gamma }(s+1)\eta (s)=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2s+1}}{{\cosh }^2(x^2)}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^s}{{\cosh }^2(t)}dt.$

Följande formel av Ernst Lindelöf (1905) gäller i hela komplexa planet om man tar det principiella värdet av logaritmen.

$\eta (s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(1/2+it{)}^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}}dt.$

Följande formel bevisades också av Lindelöf:

$(s-1)\zeta (s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(1/2+it{)}^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t}{)}^2}dt.$

En generalisering valid för $0<c<1$ och alla $s$

$\eta (s)=\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(c+it{)}^{-s}}{\sin (\pi (c+it))}dt.$

Genom att låta $c\to 0^{+}$ får man formeln

$\eta (s)=-\sin (s\pi /2)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{-s}}{\sinh (\pi t)}dt.$

En annan integral är

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{[-\ln (xy){]}^s}{1+xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{\Gamma }(s+2)\eta (s+2).$

För alla $s\in ℂ$ gäller

$\eta (s)=\frac{2^{s-1}-1}{s-1}-(2^s-2)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan x)}{(1+x^2{)}^{s/2}(e^{\pi x}+1)}\mathrm{d}x.$

Serierepresentationer

$\eta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n+1}}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{(k+1{)}^s}$

Funktionalekvation

Etafunktionen satisfierar funktionalekvationen

$\eta (-s)=2\frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}{\pi }^{-s-1}s\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(s)\eta (s+1).$

Speciella värden

Några specialfall av etafunktionen kan skrivas i sluten form:

$\eta (2)=\frac{{\pi }^2}{12}$ Mall:OEIS2C

$\eta (4)=\frac{7{\pi }^4}{720}\approx 0.94703283$

$\eta (6)=\frac{31{\pi }^6}{30240}\approx 0.98555109$

$\eta (8)=\frac{127{\pi }^8}{1209600}\approx 0.99623300$

$\eta (10)=\frac{73{\pi }^{10}}{6842880}\approx 0.99903951$

$\eta (12)=\frac{1414477{\pi }^{12}}{1307674368000}\approx 0.99975769$

och i allmänhet för positiva heltal n

$\eta (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}{\pi }^{2n}(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}.$

Några värden för udda argument är

$\eta (1)=\ln 2$

$\eta (3)=\frac{3}{4}\zeta (3)$

$\eta (5)=\frac{15}{16}\zeta (5).$

Derivata

Etafunktionens derivata är

${\eta }^{\prime }(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\ln n}{n^s}=2^{1-s}\ln 2\zeta (s)+(1-2^{1-s}){\zeta }^{\prime }(s)$.

Numeriska algoritmer

Peter Borwein har härlett en effektiv metod för numerisk räkning av etafunktionen. Om

$d_k=n\sum _{i=0}^k\frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!}$

är

$\eta (s)=-\frac{1}{d_n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k(d_k-d_n)}{(k+1{)}^s}+{\gamma }_n(s),$

där för $\mathrm{\Re }(s)\ge \frac{1}{2}$ gäller för feltermen γ_n

$|{\gamma }_n(s)|\le \frac{3}{(3+\sqrt{8}{)}^n}(1+2|\mathrm{\Im }(s)|)\exp (\frac{\pi }{2}|\mathrm{\Im }(s)|).$

Generaliseringar

Etafunktionen är ett specialfall av polylogaritmen

$\eta (x)=-{\mathrm{L}\mathrm{i}}_x(-1)$

vilket gör den även ett specialfall av Lerchs transcendent:

$\eta (s)=\mathrm{\Phi }(-1,s,1).$

Se även

• Riemanns zetafunktion

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Bokref
• Mall:Bokref
• Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933)
• Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Bokref
• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Webbref
• Mall:Webbref p. 12.
• Mall:Webbref

Externa länkar

• Mall:Commonscat