Dirichletserie

Inom matematiken är en Dirichletserie (benämnd efter Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) en serie

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s},$

där s är ett komplext tal och a är en följd av komplexa tal. Dirichletserier är specialfall av allmänna Dirichletserier.

Dirichletserier spelar en viktig roll inom analytisk talteori. Riemanns zetafunktion definieras oftast som en Dirichletserie, såsom även L-funktioner. Det har förmodats Selbergklassen satisfierar generaliserade Riemannhypotesen. Serierna är uppkallade efter Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Exempel

Den kändaste Dirichletserien är Riemanns zetafunktion

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$

En annan serie är

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

där μ(n) är Möbiusfunktionen. Denna, och många andra serier kan bevisas genom att använda Möbiusinversion och Dirichletfaltning till kända serier.

Dirichlets L-funktion definieras som

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}$

där χ är en Dirichletkaraktär.

En viktig klass av Dirichletserier är Selbergklassen.

Se även

• Allmän Dirichletserie
• Eulerprodukt

Referenser

• Mall:Enwp

Källor

• Mall:Apostol IANT
• Mall:Bokref
• The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Webbref
• Mall:Bokref
• Mall:Planetmath reference