Selbergklass

Inom matematiken är Selbergklassen en klass av Dirichletserier som satisfierar axiom som verkar vara de essentiella egenskaperna satisfierade av de flesta L- och zetafunktioner. Klassen definierades av Atle Selberg i Mall:Harv.

Definition

Den formella definitionen av Selbergklassen S är mängden av alla Dirichletserier

$F(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$

som konvergerar absolut för Re(s) > 1 och satisfierar följande fyra axiom:

• 1. Analytiskhet: funktionen (s − 1)^mF(s) är en hel funktion av ändlig ordning för något icke-negativt heltal m;

• 2. Ramanujans förmodan: a₁ = 1 och $a_n{\ll }_{ϵ}{n}^{ϵ}$ för varje ε > 0;

• 3. Funktionalekvation: det finns en gammafaktor av formen

$\gamma (s)=Q^s\prod _{i=1}^k\mathrm{\Gamma }({\omega }_{i}s+{\mu }_i)$

där Q är reell och positiv, Γ är gammafunktionen, ω_i är reella och positiva, μ_i är komplexa tal med icke-negativ reell del, samt att det finns ett så kallat rottal

$\alpha \in ℂ,|\alpha |=1$

så att funktionen

$\mathrm{\Phi }(s)=\gamma (s)F(s)$

satisfierar

$\mathrm{\Phi }(s)=\alpha \overline{\mathrm{\Phi }(1-\stackrel{‾}{s})};$

• 4. Eulerprodukt: För Re(s) > 1 kan F(s) skrivas som en produkt över primtalen:

$F(s)=\prod _p{F}_p(s)$

med

$F_p(s)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_{p^n}}{p^{ns}}\right)$

och för något θ < 1/2

$b_{p^n}=O(p^{n\theta }).$

Referenser

• Mall:Enwp

Allmänna källor

• Mall:Citation Reprinted in Collected Papers, vol 2, Springer-Verlag, Berlin (1991)
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation