Legendres chifunktion

Inom matematiken är Legendres chifunktion, uppkallad efter Adrien-Marie Legendre, en speciell funktion som definieras som den oändliga serien

${\chi }_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1{)}^{\nu }}.$

Den kan skrivas enkelt med hjälp av polylogaritmen som

${\chi }_{\nu }(z)=\frac{1}{2}[{\mathrm{Li}}_{\nu }(z)-{\mathrm{Li}}_{\nu }(-z)].$

Speciella värden

$\begin{array}{ccc}{\chi }_2(\mathrm{i})& =& \mathrm{i}\cdot G\\ {\chi }_2(\sqrt{2}-1)& =& \frac{1}{16}{\pi }^2-\frac{1}{4}{(\ln (\sqrt{2}+1))}^2\\ {\chi }_2(\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1))& =& \frac{1}{12}{\pi }^2-\frac{3}{4}{(\ln (\sqrt{5}+1))}^2\\ {\chi }_2(\sqrt{5}-2)& =& \frac{1}{24}{\pi }^2-\frac{3}{4}{(\ln (\sqrt{5}+1))}^2\\ {\chi }_2(-1)& =& -\frac{1}{8}{\pi }^2\\ {\chi }_2(1)& =& \frac{1}{8}{\pi }^2\end{array}$

där i är den imaginära enheten och G är Catalans konstant.

Integralrelationer

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arctan (r\sin \theta )d\theta =-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{r\theta \cos \theta }{1+r^2{\sin }^2\theta }d\theta =2{\chi }_2\left(\frac{\sqrt{1+r^2}-1}{r}\right)$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arctan (p\sin \theta )\arctan (q\sin \theta )d\theta =\pi {\chi }_2(\frac{\sqrt{1+p^2}-1}{p}\cdot \frac{\sqrt{1+q^2}-1}{q})$

$\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}\frac{dxdy}{1-x^2{y}^2}={\chi }_2(\alpha \beta )\mathrm{o}\mathrm{m}|\alpha \beta |\le 1$

Specialfall och generaliseringar

Dirichlets lambdafunktion är ett specialfall av Legendres chifunktion

$\lambda (n)={\chi }_n(1)$

såsom även Dirichlets betafunktion

$\beta (n)=\frac{1}{\mathrm{i}}{\chi }_n(\mathrm{i}).$

Legendres chifunktion är ett specialfall av Lerchs transcendent, nämligen

${\chi }_n(z)=2^{-n}z\mathrm{\Phi }(z^2,n,1/2).$

Se även

• Hurwitzs zetafunktion

Referenser

• Mall:Enwp
• Mall:Dewp