Lerchs transcendent

Lerchs transcendent är en speciell funktion som generaliserar Hurwitzs zetafunktion och många andra kända funktioner. Funktionen är uppkallad efter Matyáš Lerch. Dess definition är

Φ (z, s, α) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{(n + α)^{s}} .

Integralrepresentationer

En integralrepresentation för Lerchs transcendent ges av

Φ (z, s, a) = \frac{1}{Γ (s)} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{s - 1} e^{- a t}}{1 - z e^{- t}} d t

då

ℜ (a) > 0 \land ℜ (s) > 0 \land z < 1 \lor ℜ (a) > 0 \land ℜ (s) > 1 \land z = 1 .

En annan integralrepresentation ges av

Φ (z, s, a) = \frac{1}{2 a^{s}} + \frac{\log^{s - 1} (1 / z)}{z^{a}} Γ (1 - s, a \log (1 / z)) + \frac{2}{a^{s - 1}} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (s \arctan (t) - t a \log (z))}{(1 + t^{2})^{s / 2} (e^{2 π a t} - 1)} d t

då

ℜ (a) > 0 .

ζ (s, α) = L (0, α, s) = Φ (1, s, α) .

Polylogaritmen är också ett specialfall:

{Li}_{s} (z) = z Φ (z, s, 1) .

χ_{n} (z) = 2^{- n} z Φ (z^{2}, n, 1 / 2) .

ζ (s) = Φ (1, s, 1) .

η (s) = Φ (- 1, s, 1) .

Andra specialfall ges av

Φ (z, s, 1) = \frac{{L i}_{s} (z)}{z}

Φ (z, 0, a) = \frac{1}{1 - z}

Φ (0, s, a) = {(a^{2})}^{- \frac{s}{2}}

Φ (0, s, a) = a^{- s}

Φ (z, 1, 1) = - \frac{\log (1 - z)}{z}

Φ (1, s, \frac{1}{2}) = (2^{s} - 1) ζ (s)

Φ (- 1, s, 1) = (1 - 2^{1 - s}) ζ (s)

Φ (0, 1, a) = \frac{1}{\sqrt{a^{2}}}

Flera kända konstanter kan skrivas med hjälp av Lerchs trascendent:

\begin{matrix} Φ (- 1, 2, \frac{1}{2}) & = & 4 G \\ \frac{\partial Φ}{\partial s} (- 1, - 1, 1) & = & \log (\frac{A^{3}}{\sqrt[3]{2} \sqrt[4]{e}}) \\ \frac{\partial Φ}{\partial s} (- 1, - 2, 1) & = & \frac{7 ζ (3)}{4 π^{2}} \\ \frac{\partial Φ}{\partial s} (- 1, - 1, \frac{1}{2}) & = & \frac{G}{π} \end{matrix}

Lerchs transcendent satisfierar ett stort antal identiteter, såsom

Φ (z, s, a) = z^{n} Φ (z, s, a + n) + \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{z^{k}}{(k + a)^{s}}

och

Φ (z, s - 1, a) = (a + z \frac{\partial}{\partial z}) Φ (z, s, a)

och

Φ (z, s + 1, a) = - \frac{1}{s} \frac{\partial}{\partial a} Φ (z, s, a) .

Då Re(z)<1/2 kan Lerchs transcendent skrivas som

Φ (z, s, q) = \frac{1}{1 - z} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{- z}{1 - z})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (q + k)^{- s} .

(Notera att $(\binom{n}{k})$ är en binomialkoefficient.)

Om s är ett positivt heltal är

Φ (z, n, a) = z^{- a} {\sum_{\binom{k = 0}{k \neq n - 1}}^{\infty} ζ (n - k, a) \frac{\log^{k} (z)}{k!} + [ψ (n) - ψ (a) - \log (- \log (z))] \frac{\log^{n - 1} (z)}{(n - 1)!}},

då $ψ (n)$ är digammafunktionen.

En Taylorserie i tredje variabeln ges av

Φ (z, s, a + x) = \sum_{k = 0}^{\infty} Φ (z, s + k, a) (s)_{k} \frac{(- x)^{k}}{k!}; | x | < ℜ (a),

där $(s)_{k}$ är Pochhammersymbolen.

Φ (z, s, a) = \frac{1}{2 a^{s}} + \frac{1}{z^{a}} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{e^{- 2 π i (k - 1) a} Γ (1 - s, a (- 2 π i (k - 1) - \log z))}{(- 2 π i (k - 1) - \log z)^{1 - s}} + \frac{e^{2 π i k a} Γ (1 - s, a (2 π i k - \log z))}{(2 π i k - \log z)^{1 - s}} | a | < 1, R e s < 0 .