Apérys konstant

Mall:Irrationellt tal Apérys konstant, uppkallad efter den grekisk-franske matematikern Roger Apéry, är en matematisk konstant som definieras som

$\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3}=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{6^3}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{8^3}+\frac{1}{9^3}+\cdots$

där $\zeta$ är Riemanns zetafunktion. Apéry visade att $\zeta (3)$ är ett irrationellt tal. Dess approximativa värde är

$\zeta (3)=1,202056903159594285399738161511449990764986292...$

Serierepresentationer

Flera kända matematiker, såsom Euler och Ramanujan, har hittat ett flertal serier för Apérys konstant. Följande är en av Eulers formler:

$\zeta (3)=\frac{{\pi }^2}{7}[1-4\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}]$

$\zeta (3)=\frac{7}{180}{\pi }^3-2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}-1)}$

$\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3\sinh (\pi k)}-\frac{11}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}-1)}-\frac{7}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}+1)}.$

$\zeta (3)=\frac{8}{7}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^3}$

$\zeta (3)=\frac{4}{3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(k+1{)}^3}$

$\zeta (3)=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_k}{k^2}$

$\zeta (3)=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{jk(j+k)}$

$\zeta (3)=\frac{5}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{k{!}^2}{k^3(2k)!}$

$\zeta (3)=\frac{1}{4}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{56k^2-32k+5}{(2k-1{)}^2}\frac{(k-1){!}^3}{(3k)!}$

$\zeta (3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^k{2}^{-5+12k}k(-3+9k+148k^2-432k^3-2688k^4+7168k^5){k!}^3{(-1+2k)!}^6}{{(-1+2k)}^3\left(3k\right)!{(1+4k)!}^3}$

$\zeta (3)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{205k^2+250k+77}{64}\frac{k{!}^{10}}{(2k+1){!}^5}$

$\zeta (3)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{P(k)}{24}\frac{((2k+1)!(2k)!k!{)}^3}{(3k+2)!(4k+3){!}^3}$

där

$P(k)=126392k^5+412708k^4+531578k^3+336367k^2+104000k+12463.$

En snabbt konvergerande serie av Tewodros Amdeberhan och Doron Zeilberger (1997):

$\zeta (3)=\frac{1}{24}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{A(n)\cdot (2n+1){!}^3\cdot (2n){!}^3\cdot n{!}^3}{(3n+2)!\cdot (4n+3){!}^3}$

där $A(n)=126392n^5+412708n^4+531578n^3+336367n^2+104000n+12463$.

En serie av Srinivasa Aiyangar Ramanujan:

$\zeta (3)=\frac{7{\pi }^3}{180}-2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3(e^{2\pi n}-1)}.$

Simon Plouffe har utvecklat liknande serier:

$\zeta (3)=\frac{{\pi }^3}{28}+\frac{16}{7}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3(e^{\pi n}+1)}-\frac{2}{7}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3(e^{2\pi n}+1)}$

$\zeta (3)=28\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3(e^{\pi n}-1)}-37\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3(e^{2\pi n}-1)}+7\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3(e^{4\pi n}-1)}.$

Integralrepresentationer

Några integralrepresentationen är

$\zeta (3)=\frac{2{\pi }^2}{7}\log 2+\frac{16}{7}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\log (\sin x)dx$

$\zeta (3)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{1-xyz}$

$\zeta (3)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x$

$\zeta (3)=\frac{2}{3}{\pi }^3\underset{0}{\overset{1}{\int }}x(x-\frac{1}{2})(x-1)\cot (\pi x)\mathrm{d}x.$

Andra formler

Apérys konstant kan uttryckas med hjälp av tetragammafunktionen:

$\zeta (3)=-\frac{1}{2}{\psi }^{(2)}(1).$

Den är också ett specialfall av trilogaritmen:

$\zeta (3)={\mathrm{L}\mathrm{i}}_3(1)\frac{}{}.$

En intressant oändlig produkt över primtalen är

$\zeta (3)=\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}\frac{1}{1-p^{-3}}.$

Se även

• Apérys sats

Referenser

• Mall:Enwp
• Mall:Ruwp
• Mall:Jawp
• Mall:Dewp