Ortogonalgrupp

En ortogonalgrupp är ett matematiskt begrepp inom algebra. Ortogonalgruppen av grad $n$, betecknad $O(n)$ eller $O_n$, är gruppen bestående av alla isometriska $n$-dimensionella linjära avbildningar med en fix punkt. $O(n)$ är en undergrupp till den allmänna linjära gruppen $GL(n)$, och en av de s.k. klassiska Lie-grupperna. Representerad av matriser består $O(n)$ av alla $GL(n)$-matriser med determinant $\pm 1$.

Formell definition

Den n-dimensionella ortogonalgruppen över de reella talen är en grupp $(O(n),\circ )$ där

• mängden $O(n)$ är definierad som:

$O(n):=\{g:{ℝ}^n\to {ℝ}^n\text{linjär}|g(x)\cdot g(y)=x\cdot y\text{för alla}x,y\in {ℝ}^n\},$

d.v.s. funktioner $g\in O(n)$ bevarar skalärprodukten och

• gruppoperationen $\circ :O(n)\times O(n)\to O(n)$ är definierad som:

$(f\circ g)(x):=f(g(x))$ för alla $x\in {ℝ}^n$ och $f,g\in O(n)$,

d.v.s. gruppoperationen är sammansättning.

Man kan konstruera ortogonalgrupper över vilken kropp som helst, exempelvis de reella talen, komplexa talen och ändliga kroppar.

Likvärdiga definitioner

Det finns många likvärdiga definitioner för ortogonalgruppen.

Isometrier

Mängden $O(n)$ kan också ses som alla linjära isometrier ${ℝ}^n\to {ℝ}^n$. Mer precist,

$O(n)=\{g:{ℝ}^n\to {ℝ}^n\text{linjär}||g(x)-g(y)|=|x-y|\text{för alla}x,y\in {ℝ}^n\},$

d.v.s. funktioner $g\in O(n)$ bevarar avstånden.

Ortogonalmatriser

Eftersom det finns en bijektionen mellan alla linjära avbildningar ${ℝ}^n\to {ℝ}^n$ och matriser av storlek $n\times n$ så kan man se mängden $O(n)$ som alla ortogonalmatriser av storlek $n\times n$. Mer precist,

$O(n)=\{A\in {ℝ}^{n\times n}:A^{T}A=A{A}^T=I\}$

då gruppoperationen är matrismultiplikation.

Speciella ortogonalgruppenMall:Ankare

Alla matriser i $A\in O(n)$ har egenskapen att

$\det A=\pm 1$

Om man tar alla matriser $A\in O(n)$ med

$\det A=1$

får man en normal undergrupp som kallas den speciella ortogonalgruppen, betecknad $SO(n)$.

Egenskaper

Ortogonalgruppen har några egenskaper.

Lokalt kompakt topologisk grupp

Ortogonalgruppen är en lokalt kompakt topologisk grupp eftersom det är ett metriskt rum vars topologi är lokalt kompakt. Metriken är

$d(f,g):=\underset{|x|=1}{\sup }|f(x)-g(x)|$

för alla $f,g\in O(n).$

Måttstruktur

Eftersom ortogonalgruppen är en lokalt kompakt topologisk grupp finns ett unikt Haarmått i O(n) som ofta betecknas

${\theta }_n:\text{Bor}O(n)\to [0,\mathrm{\infty }],$

där $\text{Bor}O(n)$ är Borelalgebran i ortogonalgruppen O(n). Det här måttet kallas ofta ett vridningsinvariant mått.

Se även

• Abstrakt algebra
• Gruppteori
• Liegrupper
• Grassmannmångfald
• Måtteori

Referenser

• Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.