Allmän linjär grupp

Den allmänna linjära gruppen av ordning $n$, betecknad GL(n) eller GL_n, är inom matematiken en av de s.k. klassiska Lie-grupperna. $GL(n)$ är den mest fundamentala av dessa, i bemärkelsen att den är gruppen som erhålls vid avlägsnandet av alla krav utom själva gruppaxiomen i sig — d.v.s. att det ska finnas en associativ kompositionsregel sådan att elementmängden är sluten under denna regel, ett enhetselement m.a.p. kompositionsregeln, samt att varje element ska ha en invers m.a.p. enhetselementet.

$GL(n)$ är även en algebraisk grupp, d.v.s. en grupp som också är en algebraisk varietet.

Representationsteori

Representerad av matriser, över någon kropp $𝕂$, består gruppen av alla inverterbara $n\times n$-matriser, under kompositionsregeln matrismultiplikation. Om den aktuella kroppen $𝕂$ inte är underförstådd utifrån sammanhanget betecknas det vanligtvis explicit som $GL(n,𝕂)$ eller $G{L}_n(𝕂)$. Formellt har vi således definitionen

$GL(n,𝕂)=(\{M\in {𝕂}^{n\times n}|\det (M)\ne 0\},\cdot )$

där $\cdot$ betecknar matrismultiplikationen.

Verkande på ett $n$-dimensionellt $𝕂$-vektorrum $V$ utgör $GL(n)$ gruppen av automorfier på $V$, och betecknas då alternativt $GL(V)$ eller $Aut(V)$.

Viktiga undergrupper till $GL(n)$ är den speciella linjära gruppen $SL(n)$, bestående av alla $GL(n)$-element med determinant 1, samt den ortogonala gruppen $O(n)$, bestående av alla $GL(n)$-element $g$ som uppfyller $g^t=g^{-1}$.

Referenser

• Mall:Bokref