Ändlig kropp

I abstrakt algebra är en ändlig kropp en kropp med ändligt många element. Teorin om ändliga kroppar utarbetades av Carl Friedrich Gauss (1777–1855) och Évariste Galois (1811–1832), därför benämns ändliga kroppar ibland för Galoiskroppar. Ändliga kroppar har applikationer i kombinatorik, kryptologi, talteori och kodningsteori (där de bland annat används för att konstruera felrättande koder, till exempel Reed-Solomonkoder.)

Egenskaper hos ändliga kroppar

Låt Mall:Math vara en ändlig kropp och Mall:Math vara karakteristiken av Mall:Math. Då gäller följande:

• Mall:Math är ett primtal (eftersom karakteristiken av ett Integritetsområde alltid är ett primtal eller 0).
• Ordningen av Mall:Math är Mall:Math där Mall:Math är ett positivt heltal.
• Alla element i Mall:Math satisfierar ekvationen x^pn - x = 0 (Fermats lilla sats).
• För varje Mall:Math och Mall:Math, existerar det en ändlig kropp med ordning Mall:Math, vilket är splittringskroppen av Mall:Math över $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (heltalen modulo Mall:Math).

Om Mall:Math är en delkropp till Mall:Math finns det ett polynom Mall:Math i Mall:Math (Mall:Math är en polynomring över Mall:Math). Polynomet Mall:Math kan faktoriseras i Mall:Math som

$p(x)=x^{p^n}-x=\prod _{\alpha \in F}(x-\alpha )$

Man säger att Mall:Math är separabel över Mall:Math. Detta gäller eftersom om Mall:Math har grad Mall:Math så har Mall:Math högst Mall:Math rötter i Mall:Math och enligt punkten ovan så är alla element i Mall:Math rötter till polynomet. Därav är Mall:Math den minsta kroppsutvidgningen av Mall:Math som Mall:Math splittrar i. Mall:Math kallas för en separabel kroppsutvidgning (till Mall:Math). Ett polynom Mall:Math i en polynomring är separabel om och endast om Mall:Math och Mall:Math är relativt prima.

• Om Mall:Math är i Mall:Math, så gäller

$(x+y{)}^p=x^p+y^p$

Detta kan bevisas med induktion, idén är att man använder binomialutveckling. Eftersom alla tal som är en multipel av Mall:Math är lika med 0 (i och med att karakteristiken av Mall:Math är Mall:Math), så kommer alla element, förutom det första och sista elementet, i binomialutvecklingen vara lika med 0.

Exempel

Heltalen modulo Mall:Math, där Mall:Math är ett primtal, är en ändlig kropp och noteras $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},{𝔽}_p$ eller $\text{GF(}p\text{)}$. Till exempel är $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ en ändlig kropp av ordning 2 och karakteristik 2, bestående av elementen 0 och 1. Men $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ är inte en ändlig kropp. Polynomringen ${𝔽}_p[x]$ över ${𝔽}_p$ är en ändlig kropp under mod-Mall:Math addition och multiplikation, där $h(x)\in {𝔽}_p[x]$.

Källor

• Judson, Thomas W. Abstract algebra: Theory and Applications, Orthogonal Publishing L3C; 2014 edition (August 15, 2014), Mall:ISBN.
• Lidl, Rudolf och Niederreiter, Harald. Introduction to finite fields and their applications, Cambridge University Press (1994), Mall:ISBN.