Grassmannmångfald

En Grassmannmångfald, namngett efter den tyske matematikern Hermann Grassmann, är inom matematiken en mångfald av alla delrum av en viss dimension i ${ℝ}^n$.

Formell definition

Låt $0<m<n$ vara heltal. Grassmannmångfalden är mängden

$G(n,m):=\{V\subset {ℝ}^n:V\text{är ett linjärt delrum, }\dim (V)=m\}$,

dvs mängden av alla m-dimensionella linjära delrum i ${ℝ}^n$.

Mångfald

Grassmannmångfalden är en mångfald med topologin från metriken $d:G(n,m)\times G(n,m)\to ℝ$,

$d(V,W):=\Vert P_V-P_W\Vert$,

där

• $V,W\in G(n,m)$,

• $P_V$ och $P_W$ är ortogonala projektioner på V och W och

• $\Vert \cdot \Vert$ är operatornormen för linjär avbildninger.

Måttstruktur

Definiera en funktion från ortogonalgruppen $O(n)$ till $G(n,m)$ på följande sätt:

${\mathrm{\Xi }}_V:O(n)\to G(n,m)$, så att ${\mathrm{\Xi }}_V(g)=gV.$

Grassmannmåttet ${\gamma }_{n,m}$ ett bildmått:

${\gamma }_{n,m}:={\mathrm{\Xi }}_{V\mathrm{\#}}{\theta }_n,$

dvs för $A\subset G(m,n)$

${\gamma }_{n,m}(A)={\theta }_n(\{g\in O(n):gV\in A\}).$

Här är ${\theta }_n$ det vridningsinvariant måttet i $O(n)$.

Källor

• Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.