Lokalt kompakt

Inom matematiken kallas ett topologiskt rum X lokalt kompakt om varje punkt $x\in X$ har en lokal bas som består av kompakta mängder. Detta innebär att för varje öppen mängd U som innehåller x så finns en kompakt mängd V sådan att $x\in V\subset U$.

Ett topologiskt rum sägs vara starkt lokalt kompakt om varje punkt i rummet ligger i en mängd vars slutna hölje är kompakt.

Kompaktifiering

Ett Hausdorffrum X som är lokalt kompakt kan inbäddas i ett kompakt Hausdorffrum genom enpunktskompaktifiering. Denna går ut på att man lägger till en punkt $\mathrm{\infty }$ "i oändligheten", och låter de öppna mängderna i $X\cup \{\mathrm{\infty }\}$ bestå av de öppna mängderna i X, samt mängder på formen $X\setminus G$ där G är kompakt i X. Ofta utvidgas ${ℝ}^n$ och ${ℂ}^n$ på detta sätt.

Exempel

${ℝ}^n$, med den vanliga topologin, är ett typiskt exempel på ett lokalt kompakt rum. Detta eftersom de slutna bollarna med positiv radie är kompakta, och givet en punkt $x\in {ℝ}^n$ och en öppen mängd U, så finns det en sluten boll V sådan att $x\in V\subset U$

För topologiska vektorrum som är ett Hausdorffrum gäller allmänt att de är lokalt kompakta omm de är ändligtdimensionella.

Referenser

• Mall:Bokref