Brahmaguptas formel

Brahmaguptas formel beskriver ett samband mellan arean för en godtycklig cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan skrivas in i en cirkel) och dess sidor. Formeln formulerades ursprungligen av den indiska matematikern Brahmagupta under 600-talet, dock utan bevis. Formeln har sedan bevisats på flera olika sätt av olika matematiker.

Formel

Brahmaguptas formel för en cyklisk fyrhörning med arean A och sidorna a, b, c, d skrivs vanligen

$A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

där

$s\equiv \frac{a+b+c+d}{2}$

är semiperimetern (halva omkretsen).

Formeln kan dock skrivas utan semiperimetern på ekvivalent form

$A=\frac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}.$

Vilket även kan skrivas

$A=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2{)}^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}.$

Ett liknande samband existerar för en godtycklig triangel (alla trianglar är cykliska) som kallas Herons formel. Genom att låta en av sidorna i en fyrhörning vara noll bildas en triangel. Sätts en av sidorna till noll i Brahmaguptas formel erhålls Herons formel. Brahmaguptas formel kan ses som en generalisering av Herons formel.

Bevis

Bevis med trigonometriska samband

En cyklisk fyrhörning inskriven i en cirkel med beteckningar för hörn, sidor och vinklar

I beviset används beteckningar från figuren till höger.

Den cykliska fyrhörningen ABCD kan delas upp i två trianglar, ABD och BDC, vars areor enligt areasatsen ges av

$Are{a}_{ABD}=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$

$Are{a}_{BDC}=\frac{1}{2}ad\sin \gamma$

Alltså ges den cykliska fyrhörningens area, A, av

$A=\frac{1}{2}ad\sin \gamma +\frac{1}{2}bc\sin \alpha$

Eftersom fyrhörningen är cyklisk gäller $\alpha +\gamma =\pi \iff \gamma =\pi -\alpha$, vilket enligt en trigonometrisk identitet medför att $\sin \alpha =\sin \gamma$. Alltså gäller

$A=\frac{1}{2}ad\sin \alpha +\frac{1}{2}bc\sin \alpha =\frac{1}{2}(ad+bc)\sin \alpha$

Kvadrering av båda led ger

$A^2=\frac{1}{4}(ad+bc{)}^2{\sin }^2\alpha$

Detta kan med hjälp av trigonometriska ettan skrivas

$4A^2=(ad+bc{)}^2(1-{\cos }^2\alpha )=(ad+bc{)}^2-(ad+bc{)}^2{\cos }^2\alpha (*)$

Trianglarna ABD och BDC har en gemensam sida DB. Enligt cosinussatsen gäller

$D{B}^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$D{B}^2=a^2+d^2-2ad\cos \gamma$

Dessa likheter ger sambandet

$b^2+c^2-2bc\cos \alpha =a^2+d^2-2ad\cos \gamma .$

Eftersom $\gamma =\pi -\alpha$ gäller enligt en trigonometrisk identitet att $\cos \gamma =-\cos \alpha$, vilket ger sambandet

$b^2+c^2-2bc\cos \alpha =a^2+d^2+2ad\cos \alpha$

Vilket kan skrivas som

$2ad\cos \alpha +2bc\cos \alpha =b^2+c^2-a^2-d^2$

Faktorisering i vänsterledet ger

$2(ad+bc)\cos \alpha =b^2+c^2-a^2-d^2$

Kvadrering av båda led följt av division med 4 ger

$(ad+bc{)}^2{\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}(b^2+c^2-a^2-d^2{)}^2$

Ovanstående samband insatt i $(*)$ ger

$4A^2=(ad+bc{)}^2-\frac{1}{4}(b^2+c^2-a^2-d^2{)}^2$

Multiplikation med 4 ger

$16A^2=4(ad+bc{)}^2-(b^2+c^2-a^2-d^2{)}^2$

Högerledet kan med hjälp av konjugatregeln skrivas

$16A^2=(2(ad+bc)-b^2-c^2+a^2+d^2)(2(ad+bc)+b^2+c^2-a^2-d^2)$

Utveckling av de inre parenteserna ger

$16A^2=(a^2+2ad+d^2-(b^2-2bc+c^2))(b^2+2bc+c^2-(a^2-2ad+d^2))$

Vilken enligt kvadreringsregler kan skrivas

$16A^2=((a+d{)}^2-(b-c{)}^2)((b+c{)}^2-(a-d{)}^2)$

Vilket enligt konjugatregeln kan skrivas

$16A^2=(a+c+d-b)(a+b+d-c)(b+c+d-a)(a+b+c-d)$

Genom att subtrahera och addera termen med negativt tecken i varje faktor i högerledet fås

$16A^2=(a+b+c+d-2b)(a+b+c+d-2c)(a+b+c+d-2a)(a+b+c+d-2d)$

Genom att bryta ut 2 ur varje faktor i högerledet fås

$16A^2=16(\frac{a+b+c+d}{2}-b)(\frac{a+b+c+d}{2}-c)(\frac{a+b+c+d}{2}-a)(\frac{a+b+c+d}{2}-d)$

Division med 16 ger

$A^2=(\frac{a+b+c+d}{2}-b)(\frac{a+b+c+d}{2}-c)(\frac{a+b+c+d}{2}-a)(\frac{a+b+c+d}{2}-d)$

Introduceras nu semiperimetern, $s\equiv (a+b+c+d)/2$, erhålls

$A^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)$

Roten ur ger slutligen

$A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

V.S.B.

Bevis utan trigonometriska samband

Formeln kan bevisas utan trigonometriska samband med hjälp av Herons formel och uppdelning i trianglar.

Generalisering

Brahmaguptas formel kan generaliseras till att gälla även för konvexa icke-cykliska fyrhörningar enligt

$A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

där $\alpha$ och $\gamma$ är motstående vinklar. Denna formel kallas Bretschneiders formel och Brahmaguptas formel är specialfallet för cykliska fyrhörningar vilket ger $\alpha +\gamma =\pi$ som innebär att cosinustermen blir noll.

Se även

• Herons formel för arean av en triangel, specialfallet då en av sidorna är noll.
• Bretschneiders formel för arean av en godtycklig konvex fyrhörning.