Konjugatregeln

Mall:Källor Inom matematiken är konjugatregeln ofta använd för att skriva om en differens till en produkt. Om $a$ och $b$ är två tal är

$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$

Konjugatregeln gäller även för andra matematiska objekt än tal. Objekten $a$ och $b$ måste då kommutera.

Exempel

Huvudräkning

Det kan vara enklast att beräkna

$93\times 107$

enligt

$100^2-7^2=10000-49=9951$

Partiella differentialekvationer

Homogena ideala vågekvationen i en rumsdimension

Homogena ideala vågekvationen i en rumsdimension kan lösas genom att först skriva om enligt

${\partial }_{xx}\varphi -\frac{1}{c^2}{\partial }_{tt}\varphi =0\iff ({\partial }_x+\frac{1}{c}{\partial }_t)({\partial }_x-\frac{1}{c}{\partial }_t)\varphi =0$

Genom insättning kan följande enkelt verifieras:

${\partial }_x\varphi -\frac{1}{c}{\partial }_t\varphi =0\Rightarrow \varphi (x,t)=f(x+ct)$

Nollproduktmetoden och superpositionsprincipen kan nu användas för att få lösningen

$\varphi (x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$

Laplaces ekvation i två rumsdimensioner

På samma sätt som i föregående exempel fås

${\partial }_{xx}\varphi +{\partial }_{yy}\varphi =0\iff ({\partial }_x+i{\partial }_y)({\partial }_x-i{\partial }_y)\varphi =0$

med lösning

$\varphi (x,y)=f(x+iy)+g(x-iy)$

Notis om schrödingerekvationen

Man kan tänka sig att schrödingerekvationen

$i\hslash {\partial }_t\varphi =\mathscr{H}\varphi$

utgör den första av "faktorerna" i uppdelningen

${\hslash }^2{\partial }_{tt}\varphi =-{\mathscr{H}}^2\varphi \iff (\mathscr{H}-i\hslash {\partial }_t)(\mathscr{H}+i\hslash {\partial }_t)\varphi =0$

Allmänna konjugatregeln

Om exponenten är ett godtyckligt positivt heltal fås vad som kallas den allmänna konjugatregeln:

$a^n-b^n=(a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n-1}{a}^{n-1-k}{b}^k\right),n=1,2,3,\dots .$

Exempel

$a^5-b^5=(a-b)\cdot (a^4{b}^0+a^3{b}^1+a^2{b}^2+a^1{b}^3+a^0{b}^4)$

Tillämpning inom talteori

Låt a, b och n beteckna positiva heltal. Den allmänna konjugatregeln visar att ett tal på formen $a^n-b^n$ bara kan vara ett primtal om differensen mellan a och b är ett. För att hitta primtal på denna form är det därför tillräckligt att inskränka letandet till tal av typen $a^n-(a-1{)}^n.$ Speciellt ger valet $a=2$ det som kallas mersennetal:

$2^n-1$

För vissa värden på det positiva heltalet $n$ är $2^n-1$ ett primtal (mersenneprimtal) och för sådana värden måste talet

$1+2+2^2+2^3+\cdots +2^{n-1}$

vara ett primtal enligt konjugatregeln.

Bevis av den allmänna konjugatregeln

Den allmänna konjugatregeln kan bevisas med hjälp av matematisk induktion med avseende på det positiva heltalet n:

• Först visas att regeln är sann då n = 1
• Sedan antas att regeln är sann då n = N, där N är ett positivt heltal
• Sedan visas att regeln är sann för nästa positiva heltal n = N + 1
• Slutligen används matematisk induktion som leder till att regeln är sann för alla positiva heltal n.

För det positiva heltalet n = 1 innebär allmänna konjugatregeln sambandet

$a^1-b^1=(a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^{1-1}{a}^{1-1-k}{b}^k\right)=(a-b)\cdot (a^0{b}^0)=a-b$

vilket uppenbarligen är sant. Den allmänna konjugatregeln är därför sann för det positiva heltalet n = 1.

Nu antas att den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, det vill säga:

$a^N-b^N=(a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^{N-1}{a}^{N-1-k}{b}^k\right)$

Med utgångspunkt från detta antagande skall det visas att regeln är sann för nästa positiva heltal, det vill säga att

$a^{N+1}-b^{N+1}=(a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^N{a}^{N-k}{b}^k\right)$

Differensen $a^{N+1}-b^{N+1}$ skrivs om på ett sätt som gör att det går använda det som är känt om differensen

$a^N-b^N;$

$a^{N+1}-b^{N+1}=a^{N}a-a^{N}b+a^{N}b-b^{N}b.$

De termer slås samman som innehåller faktorn $a^N$ och även de termer som innehåller faktorn b:

$a^{N+1}-b^{N+1}=a^N(a-b)+(a^N-b^N)b.$

Sedan ersätts differensen $a^N-b^N$ med det uttryck som antagits vara sant:

$a^{N+1}-b^{N+1}=a^N(a-b)+b\cdot (a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^{N-1}{a}^{N-1-k}{b}^k\right)$

Därefter bryts den gemensamma faktorn $(a-b)$ ut och återstoden skrivs ut i detalj:

$a^{N+1}-b^{N+1}=(a-b)\cdot (a^N+b\cdot (a^{N-1}+a^{N-2}b+\cdots +a{b}^{N-2}+b^{N-1})).$

Sedan multipliceras faktorn b in i summan ovan och därmed är

$a^{N+1}-b^{N+1}=(a-b)\cdot (a^N+a^{N-1}b+a^{N-2}{b}^2+\cdots +a{b}^{N-1}+b^N).$

Med hjälp av summa-symbolen kan resultat skrivas på en form som visar att

$a^{N+1}-b^{N+1}=(a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^N{a}^{N-k}{b}^k\right).$

Det har härmed visats att om den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, så är den även sann för nästa positiva heltal n = N + 1.

Enligt principen för matematisk induktion är då den allmänna konjugatregeln sann för alla positiva heltal n.

Se även

• Konjugat (Algebra)
• Kvadreringsreglerna