Cosinussatsen

Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.

Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:

Då gäller att

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.

Bevis

Bevis med Pythagoras sats

Eftersom vinkeln mellan $h$ och $c$ är rät, ger Pythagoras sats:

$a^2={(a\cos \beta )}^2+h^2$ och $b^2={(b\cos \alpha )}^2+h^2\iff h^2=b^2-{(b\cos \alpha )}^2$

vilka ger:

$a^2={(a\cos \beta )}^2+h^2={(a\cos \beta )}^2+(b^2-{(b\cos \alpha )}^2)$

Enligt definitionen på cosinus är:

$|\overline{BD}|=a\cos \beta$ och $|\overline{DA}|=b\cos \alpha$

och då $c=|\overline{BA}|=|\overline{BD}|+|\overline{DA}|=a\cos \beta +b\cos \alpha$ får vi:

$a\cos \beta =c-b\cos \alpha$

vilket om det insätts i uttrycket för $a^2$ ger

$a^2={(c-b\cos \alpha )}^2+b^2-{(b\cos \alpha )}^2=c^2-2bc\cdot \cos \alpha +{(b\cos \alpha )}^2+b^2-{(b\cos \alpha )}^2\Rightarrow$

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

Bevis med avståndsformeln

En triangel har sidorna a, b, c. Genom att placera triangeln i ett koordinatsystem kan sidlängderna beräknas enligt avståndsformeln med

$A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B=(a,0),C=(0,0)$

Med hjälp av avståndsformeln kan längden av sidan c skrivas som

$c=\sqrt{(a-b\cos \theta {)}^2+(0-b\sin \theta {)}^2}\Rightarrow$

$c^2=(a-b\cos \theta {)}^2+(-b\sin \theta {)}^2$

$c^2=a^2-2ab\cos \theta +(b\cos \theta {)}^2+(b\sin \theta {)}^2$

$c^2=a^2+b^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )-2ab\cos \theta$

och slutligen (via "trigonometriska ettan": ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$)

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \theta$

Se även

• Areasatsen
• Sinussatsen
• Tangenssatsen
• Sinus
• Cosinus
• Tangens