Tangenssatsen

Tangenssatsen är inom trigonometrin en sats som anger sambandet mellan två sidor och deras motstående vinklar för en godtycklig triangel:

\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan (\frac{1}{2} (α - β))}{\tan (\frac{1}{2} (α + β))}

Ovanstående samband gäller för godtyckliga sidor $a$ och $b$ samt godtyckliga vinklar $α$ och $β$ .

Bevis

Enligt sinussatsen gäller

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β}

Låt

d = \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β},

så att

a = d \sin α och b = d \sin β

Av detta följer

\frac{a - b}{a + b} = \frac{d \sin α - d \sin β}{d \sin α + d \sin β} = \frac{\sin α - \sin β}{\sin α + \sin β} .

Genom att använda den trigonometriska identiteten för summa till produkt

\sin (α) \pm \sin (β) = 2 \sin (\frac{α \pm β}{2}) \cos (\frac{α \mp β}{2}),

erhålls

\frac{a - b}{a + b} = \frac{2 \sin \frac{1}{2} (α - β) \cos \frac{1}{2} (α + β)}{2 \sin \frac{1}{2} (α + β) \cos \frac{1}{2} (α - β)} = \frac{\tan [\frac{1}{2} (α - β)]}{\tan [\frac{1}{2} (α + β)]}