Tangens

Mall:Funktion Tangens (tan, ibland tg) är en trigonometrisk funktion och definieras som

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Alternativt kan tangens definieras med hjälp av en rätvinklig triangel

Mall:Clear

med vinkeln α mellan en katet och hypotenusan. Tangens för α är förhållandet mellan längden av motstående katet och längden av närstående katet:

$\tan \alpha =\frac{a}{b}$

Om z är komplext gäller

$\tan z=\frac{e^{-\mathrm{i}z}-e^{\mathrm{i}z}}{\mathrm{i}(e^{-\mathrm{i}z}+e^{\mathrm{i}z})}$

Tangensfunktionen definieras också av serieutvecklingen

$\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\cdots ;|x|<\frac{\pi }{2}$

Egenskaper

Samband mellan vinklar

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

$\tan (2\alpha )=\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$

$\tan (\alpha +\beta +\gamma )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }{1-\tan \beta \tan \gamma -\tan \gamma \tan \alpha -\tan \alpha \tan \beta }$

$\tan (\sum _1^N=i{\theta }_n)=\frac{\prod _{n=1}^N(1-i\tan {\theta }_n)-\prod _{n=1}^N(1+i\tan {\theta }_n)}{\prod _{n=1}^N(1+i\tan {\theta }_n)+(\prod _{n=1}^N(1-i\tan {\theta }_n)}$

Derivata

$\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x=\frac{2}{\cos 2x+1}$

Integral

$\int \tan xdx=-\ln \cos x+C$

Se även

• Tangenssatsen
• Trigonometriska identiteter