Cyklisk fyrhörning

En cyklisk fyrhörning (även kallad en cirkelfyrhörning) är en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel.

• För en cyklisk fyrhörning är summan av två motsatta vinklar 180 grader (en följd av randvinkelsatsen)

• Om i en fyrhörning summan av två motsatta vinklar är 180 grader är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel

• Om i en fyrhörning ABCD vinkeln ACD = vinkeln ABD är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel (det vill säga om vinkeln mellan en sida och en diagonal är lika med vinkeln mellan den motsatta sidan och den andra diagonalen)

• En fyrhörning är inskrivningsbar i en cirkel om och endast om sidornas mittpunktsnormaler skär varandra i samma punkt (cirkelns medelpunkt - sidorna i en inskriven polygon är ju kordor och dessas mittpunktsnormaler går ju såklart genom medelpunkten)

Area

Arean A av en cyklisk fyrhörning med sidorna a, b, c, d ges av Brahmaguptas formel

$A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

där semiperimetern s är

$s=\frac{a+b+c+d}{2}$.

Omskrivna cirkelns radie

Om den cykliska fyrhörningens sidor betecknas $a,b,c,d$ och semiperimetern med $s$ är den omskrivna cirkelns radie

$R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

Diagonaler

Enligt Ptolemaios sats är produkten av de två diagonalerna p och q hos en cyklisk fyrhörning lika med summan av produkterna av de motstående sidorna ac och bd:

$pq=ac+bd.$

För en cyklisk fyrhörning med de successiva hörnen A, B, C, D och de successiva sidorna a = AB, b = BC, c = CD, och d = DA och med diagonalerna p = AC och q = BD gäller:

$\frac{p}{q}=\frac{ad+cb}{ab+cd}$.

Diagonalernas längder kan uttryckas i sidornas längder som

$p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}},$

$q=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}.$

Vinklar

För en cyklisk fyrhörning med de efter varandra följande sidorna a, b, c, d, semiperimeter s, och vinkeln A mellan sidorna a och d, ges de trigonometriska funktionerna för vinkeln A enligt

$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$

$\sin A=\frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)}$

$\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}$

För vinkeln $\theta$ mellan diagonalerna gäller

$\tan \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}$

Se även

• Tangentfyrhörning
• Herons formel