Semiperimeter

Mall:Dubbel bild En plangeometrisk figurs semiperimeter (semi=halv och perimeter=omkrets) är halva omkretsen. Semiperimetern används främst i samband med polygoner, särskilt trianglar. Den betecknas vanligen med s och används huvudsakligen för att förenkla uttryck och formler.

För en polygon gäller att

$s=\frac{\sum _{k=1}^N{a}_k}{2}$ där $N$ är lika med antalet hörn eller sidor och där $a_k$ är längden av sidan $k\in \{1,2...N\}$

För en triangel (beteckningar enligt figur 1) med sidlängderna $a$, $b$ och $c$ är semiperimetern:

$s=\frac{a+b+c}{2}$

Semiperimetern utnyttjas ofta för att förkorta uttryck som:

$\frac{-a+b+c}{2}=s-a,\frac{a-b+c}{2}=s-b$ och $\frac{a+b-c}{2}=s-c$.

se exempelvis Herons formel. Se även Brahmaguptas formel som använder motsvarande uttryck för fyrhörningar:

$\frac{-a+b+c+d}{2}=s-a$ etcetera.

För en tangenttriangel till en inskriven cirkel (beteckningar enligt figur 2) med sidlängderna $|\overline{AB}|$, $|\overline{AC}|$ och $|\overline{BC}|$ och avstånden $a$, $b$ och $c$ från respektive hörn till tangeringspunkterna (avståndet från ett hörn till tangeringspunkten på vardera sidan är detsamma – exempelvis är $|\overline{A{T}_{AC}}|=|\overline{A{T}_{AB}}|=a$ i figuren) gäller även:

$s=\frac{|\overline{AB}|+|\overline{AC}|+|\overline{BC}|}{2}=\frac{(a+b)+(a+c)+(b+c)}{2}=a+b+c\Rightarrow$

$s=|\overline{BC}|+a\iff a=s-|\overline{BC}|,s=|\overline{AC}|+b\iff b=s-|\overline{AC}|$ och $s=|\overline{AB}|+c\iff c=s-|\overline{AB}|$

För en triangels area gäller att den är lika med produkten av semiperimetern och den inskrivna cirkelns radie:

$|\mathrm{△}ABC|=s\cdot r$.

eftersom hela triangelns area (figur 2) $|\mathrm{△}ABC|=|\mathrm{△}ABI|+|\mathrm{△}ACI|+|\mathrm{△}BCI|=\frac{|\overline{AB}|\cdot r}{2}+\frac{|\overline{AC}|\cdot r}{2}+\frac{|\overline{BC}|\cdot r}{2}=(a+b+c)\cdot r=s\cdot r$

Denna formel gäller alla tangentpolygoner, inte bara trianglar, eftersom de kan delas upp i trianglar med en polygonsida som bas och det tredje hörnet i den inskrivna cirkelns medelpunkt varigenom alla trianglarnas höjder är lika med den inskrivna cirkelns radie (eftersom radien till tangeringspunkten är vinkelrät mot den tangerande sidan):

$Arean=\sum _{k=1}^N\frac{a_k\cdot r}{2}=s\cdot r$ där $N$ är lika med antalet hörn eller sidor och där $a_k$ är längden av sidan $k\in \{1,2...N\}$

Referenser

• Eric W. Weisstein, Semiperimeter på Wolfram MathWorld.