Ptolemaios sats

Ptolemaios sats är en sats inom euklidisk geometri om sambandet mellan de fyra sidorna och de två diagonalerna i en cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel). Satsen är uppkallad efter den grekiske astronomen och matematikern Klaudios Ptolemaios som beskrev den i Almagest bok 1, kapitel 10. Ptolemaios utnyttjade satsen för att beräkna kordor till en tabell som han använde i sitt astronomiska arbete. Satsen säger:

Om en fyrhörning är cyklisk så är produkten av diagonalernas längder lika med summan av produkterna av de motstående sidornas längder. För den cykliska fyrhörningen $ABCD$ (se figur till höger) gäller alltså:

$|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{BC}|\cdot |\overline{AD}|.$

Omvändningen till satsen gäller också: Om produkten av en fyrhörnings diagonaler är lika med summan av produkterna av de motstående sidorna, så är fyrhörningen cyklisk.

Bevis

Figur 1, 2 och 3.

Ptolemaios sats kan bevisas på flera olika sätt.

Bevis med likformiga trianglar (Ptolemaios metod)

Vi har en cyklisk fyrhörning $ABCD$. I en sådan är vinkeln mellan en sida och en diagonal lika med vinkeln mellan den motstående sidan och den andra diagonalen. Alltså är $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }BDC$ (blå) och $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }ACB$ (grön) i figur 1. Välj punkten $K$ på $\overline{AC}$ så att $\mathrm{\angle }CBD=\mathrm{\angle }ABK$ (orange). Eftersom $\mathrm{\angle }ABK+\mathrm{\angle }CBK=\mathrm{\angle }CBA=\mathrm{\angle }CBD+\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }ABK+\mathrm{\angle }ABD$ så är $\mathrm{\angle }CBK=\mathrm{\angle }ABD$. Vi har nu två par av likformiga trianglar: dels $\mathrm{△}ABK$ och $\mathrm{△}BCD$ (figur 2) och dels $\mathrm{△}ABD$ och $\mathrm{△}BCK$ (figur 3). Eftersom trianglarna är likformiga får vi ur figur 2 att

$\frac{|\overline{AK}|}{|\overline{AB}|}=\frac{|\overline{CD}|}{|\overline{BD}|}\iff |\overline{AK}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{CD}|\cdot |\overline{AB}|$

och ur figur 3 får vi på samma sätt att

$|\overline{CK}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|.$

Genom att addera dessa två uttryck får vi

$|\overline{AK}|\cdot |\overline{BD}|+|\overline{CK}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{CD}|\cdot |\overline{AB}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|\iff$

$(|\overline{AK}|+|\overline{CK}|)\cdot |\overline{BD}|=|\overline{CD}|\cdot |\overline{AB}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|.$

Men $|\overline{AK}|+|\overline{CK}|=|\overline{AC}|$, vilket ger

$|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{BC}|\cdot |\overline{AD}|.$

Ett trigonometriskt bevis

Beteckningarna a, b, c, d på sidorna kan förvirra så bortse från dem. (Vinkeln α är den till b motstående vinkeln i O.)

Om vi med $O$ avser den omskrivna cirkelns medelpunkt, med $R$ dess radie och med $2\alpha$, $2\beta$ och $2\gamma$ avser de tre vinklarna $\mathrm{\angle }AOB$, $\mathrm{\angle }BOC$ respektive $\mathrm{\angle }COD$ i figuren till höger ser vi att:

$|AB|=2R\sin \alpha$,

$|BC|=2R\sin \beta$,

$|CD|=2R\sin \gamma$,

$|AD|=2R\sin (\alpha +\beta +\gamma )$,

$|AC|=2R\sin (\alpha +\beta )$ och

$|BD|=2R\sin (\beta +\gamma ).$

Formeln i satsen kan alltså, efter att vi förkortat bort $4R^2$, skrivas som:

$\sin (\alpha +\beta )\sin (\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin (\alpha +\beta +\gamma )$

Genom att använda additionsformlerna $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$ och $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ samt trigonometriska ettan i formen ${\sin }^2\beta =1-{\cos }^2\beta$ fås att båda sidor är lika med

$\sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha {\cos }^2\beta \sin \gamma +\cos \alpha {\sin }^2\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma$

och satsen är därmed bevisad.

Externa länkar

• Mall:Commonscat