Riemann–Siegels thetafunktion

Inom matematiken är Riemann–Siegels thetafunktion en speciell funktion definierad med hjälp av gammafunktionen som

$\theta (t)=\arg \left(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2it+1}{4}\right)\right)-\frac{\log \pi }{2}t$

för reella värden på t. Här väjs argumentet så att man får en kontinuerlig funktion och så att $\theta (0)=0$.

Den har den asymptotiska expansionen

$\theta (t)\sim \frac{t}{2}\log \frac{t}{2\pi }-\frac{t}{2}-\frac{\pi }{8}+\frac{1}{48t}+\frac{7}{5760t^3}+\cdots$

som inte konvergerar, men vars första termer ger en god approximation för $t\gg 1$. Dess Taylorserie runt 0 konvergerar för $|t|<1/2$ och ges av

$\theta (t)=-\frac{t}{2}\log \pi +\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\psi }^{(2k)}\left(\frac{1}{4}\right)}{(2k+1)!}{\left(\frac{t}{2}\right)}^{2k+1}$

där ${\psi }^{(2k)}$ betecknar polygammafunktionen av ordning $2k$. Riemann–Siegels thetafunktion är viktig i teorin av Riemanns zetafunktion eftersom den kan rotera zetafunktionen så att den blir den reellvärda Z-funktionen vid den kritiska linjen $s=1/2+it$.

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Citation
• Mall:Citation

Externa länkar

• Mall:MathWorld
• Wolfram Research – Riemann-Siegel Theta function (innehåller funktionens kurva och värden)