Z-funktionen

Inom matematiken är Z-funktionen en speciell funktion som används då man studerar Riemanns zetafunktion vid den kritiska linjen där den reella delen av argumentet är en halv. Den är även känd som Riemann-Siegels Z-funktion, Riemann-Siegels zetafunktion, Hardys funktion, Hardys Z-funktion och Hardys zetafunktion. Den kan definieras med hjälp av Riemann–Siegels thetafunktion och Riemanns zetafunktion som

$Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta (\frac{1}{2}+it).$

Z-funktionen i komplexa planet

$-5<\mathrm{\Re }(t)<5$	$-40<\mathrm{\Re }(t)<40$

Riemann-Siegels formel

Beräkning av Z(t) för reella t, och härmed av zetafunktionen vid den kritiska linjen, förenklas mycket av Riemann–Siegels formel. Formeln lyder

$Z(t)=2\sum _{n^2<t/2\pi }{n}^{-1/2}\cos (\theta (t)-t\log n)+R(t)$

där feltermen R(t) har en komplex asymptotiska expansion med hjälp av funktionen

$\mathrm{\Psi }(z)=\frac{\cos 2\pi (z^2-z-1/16)}{\cos 2\pi z}$

och dess derivator. Om $u=(\frac{t}{2\pi }{)}^{1/4}$,$N=\lfloor u^2\rfloor$ och $p=u^2-N$ är

$R(t)\sim (-1{)}^{N-1}(\mathrm{\Psi }(p)u^{-1}-\frac{1}{96{\pi }^2}{\mathrm{\Psi }}^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots )$

där punkterna betyder att vi kan fortsätta att ta högre och mer komplexa termer.

Andra effektiva serier för Z(t) är kända, speciellt sådana som innehåller ofullständiga gammafunktionen. Om

$Q(a,z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(a,z)}{\mathrm{\Gamma }(a)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a)}\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{a-1}{e}^{-u}du$

är

$Z(t)=2\mathrm{\Re }\left(e^{i\theta (t)}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}Q(\frac{s}{2},\pi i{n}^2)-\frac{{\pi }^{s/2}{e}^{\pi is/4}}{s\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)})\right).$

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Bokref
• Mall:Bokref
• Mall:Bokref
• Mall:Bokref
• Mall:Bokref