Kontinuerlig funktion

Att en reellvärd funktion definierad på hela R är kontinuerlig betyder att dess graf är sammanhängande.

Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten x₀ eftersom den där gör ett hopp.

Inom matematiken är en kontinuerlig funktion en funktion som inte gör några plötsliga hopp och inte har några avbrott, så att nästan lika värden in garanterar nästan lika värden ut. För en reellvärd funktion f med ett reellt argument kan man precisera detta som att man för varje givet reellt tal x₀ där funktionen är definierad och varje given noggrannhet kan vara säker på att f(x) approximerar f(x₀) med minst denna noggrannhet för alla x som ligger tillräckligt nära x₀.

Begreppet kontinuitet är dock mycket använt inom olika delar av matematiken, även sådana där denna intuitiva förklaring inte så lätt låter sig omformuleras i en stringent definition. Topologi är den gren av matematiken som studerar kontinuerliga funktioner i dess mest generella betydelse. Där definieras en funktion mellan två topologiska rum som kontinuerlig, om varje urbild av en öppen mängd är öppen. Man kan visa att denna generella definition betyder samma sak som den vanliga definitionen för "vanliga" funktioner.

Exempel

• En funktion f definierad på en delmängd av de reella talen är kontinuerlig i en punkt Mall:Nowrap i funktionens definitionsmängd D_f om den där identisk med sitt gränsvärde, det vill säga om

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

Att f är kontinuerlig betyder att den är kontinuerlig i varje punkt i D_f. Exempelvis är f definierad av Mall:Nowrap för alla x skilda från 0 kontinuerlig, trots att dess graf "hoppar" i punkten 0.

Formella definitioner av "kontinuerlig funktion"

Den intuitiva beskrivningen med hjälp av "noggrannhet" brukar traditionellt formaliseras i termer av ε (som uttalas epsilon och här betecknar "utvärdesnoggrannheten") och δ (delta, "invärdesnoggrannheten"). Detta ger följande precisa definition i det mest grundläggande fallet.

På reella tallinjen

En reellvärd funktion f av en reell variabel (alltså sådan att dess definitionsmängd Mall:Nowrap) är:

• kontinuerlig i punkten Mall:Nowrap om det för vart Mall:Nowrap existerar ett Mall:Nowrap sådant att Mall:Nowrap och Mall:Nowrap medför Mall:Nowrap.
• kontinuerlig i ett intervall (exempelvis [a, b] eller ]a, b[) om den är kontinuerlig i alla punkter i intervallet.
• kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje punkt x i D_f.

Man kan göra liknande definitioner exempelvis för funktioner mellan delmängder av olika ändligtdimensionella reella vektorrum, så snart man har preciserat vad Mall:Nowrap betyder. Exempelvis brukar man på Rⁿ definiera detta som det euklidiska avståndet:

$|(x_1,...,x_n)-(y_1,...,y_n)|=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+...+(x_n-y_n{)}^2}$.

Mellan metriska rum

Allmännare räcker det om både definitionsmängden och målmängden är försedda med metriker, avståndsfunktioner som uppfyller triangelolikheten. Med andra ord, om (X, d_x) och (Y, d_y) är metriska rum är funktionen Mall:Nowrap kontinuerlig i Mall:Nowrap om det för varje Mall:Nowrap existerar ett Mall:Nowrap så att Mall:Nowrap.

Om Mall:Nowrap och Mall:Nowrap ges den vanliga metriken d_R definierad genom Mall:Nowrap, är denna definition ekvivalent med den förra definitionen.

Mellan topologiska rum

För allmänna topologiska rum X och Y gäller att en funktion Mall:Nowrap är kontinuerlig om urbilden av varje öppen mängd i Y är öppen i X. Det vill säga för varje öppen mängd Mall:Nowrap gäller att f ^-1(U) är öppen i X.

Man säger att f är kontinuerlig i punkten x om det för varje omgivning V till f(x) finns en omgivning U till x, sådan att Mall:Nowrap. Om X och Y är metriska rum, så är denna definition ekvivalent med den klassiska Mall:Nowrap.

Riktad kontinuerlighet

en högerkontinuerlig funktion

En funktion kan vara kontinuerlig i endast en riktning.

Se även

• Differentierbarhet
• Diskret funktion
• Kontinuum
• Lipschitz-kontinuitet
• Likformig kontinuitet

Externa länkar

• Mall:Commonscat