Differentierbarhet

Mall:KällorDifferentierbarhet är inom matematisk analys en lokal egenskap hos en funktion som generaliserar begreppet deriverbarhet till flera dimensioner. Ur differentierbarhet följer kontinuitet och kedjeregeln.

Definition

Funktionen $f:{ℝ}^n\to ℝ$ säges vara differentierbar i punkten $𝐚\in {ℝ}^n$ om och endast om det existerar en punkt $𝐀$ i ${ℝ}^n$ och en funktion $\rho :{ℝ}^n\to ℝ$ sådana att

$f(𝐚+𝐡)-f(𝐚)=𝐀\cdot 𝐡+|𝐡|\rho (𝐡)$

och

$\underset{𝐡\to \mathrm{𝟎}}{\lim }\rho (𝐡)=0$

En funktion säges vara differentierbar på en mängd M om funktionen är differentierbar i alla punkter i M.

Det kan observeras att definitionen av differentierbarhet är ekvivalent med definitionen för deriverbarhet om f är en funktion av bara en variabel. För vektorvärda funktioner betraktas komponentfunktionernas differentierbarhet.

Man kan visa $A_i=\frac{\partial f(𝐱)}{\partial x_i}$ i punkten $𝐱=𝐚$ liksom att existensen av kontinuerliga partiella derivator för en funktion implicerar differentierbarhet.

Liksom ekvationen för tangenten till funktionen kan utläsas ur definitionen av deriverbarhet beskriver högerledet i definitionen ovan tangentplanet till funktionen i punkten $𝐚$.

Att en funktion är differentierbar innebär att den är deriverbar i alla riktningar. Grafiskt tolkat betyder det att tangentplanet ligger nära funktionsytan. Alla kontinuerliga funktioner är således inte differentierbara.