Kedjeregeln

Kedjeregeln är inom matematisk analys en regel för derivering av sammansatta funktioner, det vill säga, om f och g är funktioner, då anger kedjeregeln derivatan av deras sammansättning Mall:Nowrap (funktionen som avbildar x på f(g(x)) i termer av derivator av f och g och produkten av funktioner enligt

$(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)\cdot g^{\prime }$

Detta kan mer explicit uttryckas i termer av variabeln x. Låt Mall:Nowrap, eller ekvivalent, Mall:Nowrap för alla x. Kedjeregeln kan då skrivas

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

Kedjeregeln kan också skrivas med Leibniz notation: låt z vara en funktion av variabeln y, vilken själv är en funktion av x (y och z är därmed beroende variabler) och därmed blir även z en funktion av x:

$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}$

Funktioner av en variabel

Om

$y=f(u)$ och $u=g(x)$, så att $y=f(g(x))$,

anger kedjeregeln att

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x),$

där $g^{\prime }(x)$ kallas f:s inre derivata.

Med Leibniz notation skrivs detta

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dg}\frac{dg}{dx},$

då $\frac{dg}{dx}$ är den inre derivatan.

Funktioner av flera variabler

Inom flervariabelanalys fungerar kedjeregeln på ett liknande sätt.

Om

$y=f(𝐮(x))$ och $𝐮(x)=(u_1(x),...,u_n(x))$

så är

$\frac{dy}{dx}=\frac{\partial f}{\partial u_1}\frac{d{u}_1}{dx}+...+\frac{\partial f}{\partial u_n}\frac{d{u}_n}{dx}$.

Eftersom gradienten

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial u_1},...,\frac{\partial f}{\partial u_n})$

och derivatan av den inre funktionen u är

${𝐮}^{\prime }(x)=(\frac{d{u}_1}{dx},...,\frac{d{u}_n}{dx})$

inser vi att derivatan $\frac{dy}{dx}$ kan skrivas som en skalärprodukt enligt

$\frac{dy}{dx}=\mathrm{\nabla }f\cdot {𝐮}^{\prime }$.