Leibniz notation

Leibniz notation för första- respektive andraderivatan av y med avseende på x.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716), tysk filosof, matematiker och känd för sin notation inom analysen.

Leibniz notation, uppkallad efter den tyske 1700-talsfilosofen och matematikern Gottfried Wilhelm Leibniz, används inom matematisk analys och där symbolerna Mall:Math och Mall:Math representerar infinitesimala delar av Mall:Math respektive Mall:Math, på samma sätt som Mall:Math and Mall:Math representerar ändliga ökningar av Mall:Math respektive Mall:Math.

Betrakta Mall:Math som en funktion av en variabel Mall:Math eller som Mall:Math = Mall:Math. Derivatan av Mall:Math med avseende på Mall:Math, vilken senare kom att bli betraktad som gränsvärdet

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x},$

var, enligt Leibniz, kvoten av en infinitesimal del av Mall:Math och en infinitesimal del av Mall:Math, eller

$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x),$

där den högra sidan är Lagranges notation för derivatan av Mall:Math i punkten Mall:Math. Från en modern infinitesimalteoris synpunkt, är Mall:Math ett infinitesimalt Mall:Math-inkrement, Mall:Math är det motsvarande Mall:Math-inkrementet och derivatan är standardkvotdelen av kvoten av infinitesimaler:

$f^{\prime }(x)=\mathrm{s}\mathrm{t}\left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right)$.

Sedan sätts $dx=\mathrm{\Delta }x$, $dy=f^{\prime }(x)dx$, så att per definition, $f^{\prime }(x)$ är kvoten av dy och dx.

På liknande sätt, även om matematiker numera ofta betraktar integralen

$\int f(x)dx$

som gränsvärdet

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum _{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }x,$

där Mall:Math är ett intervall innehållande Mall:Math, såg Leibniz den som summan av oändligt många infinitesimala kvantiteter Mall:Math. Från en modern synpunkt är det mer korrekt att se integralen som standardkvotdelen av en sådan oändlig summa.

För högre derivator blir notationen

$\frac{d^n(f(x))}{d{x}^n}\text{ eller }\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$

för den n:te derivatan av Mall:Math respektive Mall:Math.

Kedjeregeln kan skrivas

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d{u}_1}\cdot \frac{d{u}_1}{d{u}_2}\cdot \frac{d{u}_2}{d{u}_3}\cdots \frac{d{u}_n}{dx}$

Se även

• Icke-standardanalys, (ISA)

Referenser

• Mall:Enwp