Ortogonalmatris

En ortogonalmatris är en reell kvadratisk matris vars rader och kolonner är ortogonala enhetsvektorer.

En matris Q är ortogonal om dess transponat är lika med dess invers:

$Q^{\mathrm{T}}=Q^{-1}$

vilket medför att

$Q^{\mathrm{T}}Q=Q{Q}^{\mathrm{T}}=I$

där I är enhetsmatrisen.

Ortogonalmatriser har konditionstal 1, varför de är viktiga för att bestämma stabilitet inom numerisk linjär algebra.

Exempel

Exempel på ortogonala matriser är:

• Alla enhetsmatriser.
• Alla permutationsmatriser.

Egenskaper

En reell kvadratisk matris av storlek $n$ är ortogonal om och endast om dess kolumner bildar en ortonormerad bas för ${ℝ}^n$ med den vanliga skalärprodukten införd. Om kolumnerna endast är ortogonala och inte normerade uppfyller matrisen $A^{T}A=D$ för någon diagonalmatris $D$ istället.

Determinanten till en ortogonal matris $A$ är 1 eller -1:

$1=\det I=\det (A^{T}A)=\det A^T\det A=\det A^2=(\det A{)}^2$

$1=(\det A{)}^2\iff \det A=\pm 1$

Det omvända gäller dock inte; en matris med determinanten 1 är inte nödvändigtvis ortogonal.

En linjär avbildning som har en ortogonalmatris i en ON-bas är också en isometri. Vid basbyte mellan två ändliga ON-baser är basbytesmatrisen en ortogonalmatris, vilket gör att diagonalisering av vissa matriser blir väldigt enkelt, se spektralsatsen.

Ortogonalmatriser används vid ett antal matrisfaktoriseringar, exempelvis QR-faktorisering, polärfaktorisering och singulärvärdesfaktorisering.

Konstruktion

De enklaste ortogonala matriserna är $[1]$ och $[-1]$.

Ortogonala 2×2-matriser kan konstrueras med ett antal ekvationer. Vi utgår från matrisen

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

Kolonnerna skall vara ortogonala och varje kolonns skalärprodukt med sig själv skall vara 1. Detta ger ekvationerna

$1=a^2+c^2,$

$1=b^2+d^2,$

$0=ab+cd.$

De två första ekvationerna är ekvationen för en cirkel och med

$a=\cos \theta ,c=\sin \theta$

får vi två möjliga lösningar

$b=-\sin \theta ,d=\cos \theta$

eller

$b=\sin \theta ,d=-\cos \theta$.

Detta ger

$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$, en rotationsmatris, och

$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right]$, en reflektionsmatris.

Se även

• Unitär matris
• Euklidiskt rum

Mall:Linjär-algebra