Polärfaktorisering

Polärfaktorisering är inom linjär algebra en matrisfaktorisering som är analog till polärfaktorseringen av ett komplext tal, $z=r{e}^{i\theta }$, där r är absolutbeloppet av z och $\theta$ är z:s argument.

Definition och beräkning

Givet en matris A kan den faktoriseras på formen:

$A=UP$

som kallas högerpolärfaktorisering. A kan även faktoriseras som:

$A=P^{\prime }U$

som kallas vänsterpolärfaktorisering eller omvänd polärfaktorisering.

U är en unitär matris som är gemensam för båda faktoriseringarna. P och $P^{\prime }$ är positivt semidefinita hermiteska matriser. Faktoriseringarna existerar alltid och är unika så länge A är inverterbar och P väljs att vara positivt definit.

Matriserna P och $P^{\prime }$ ges av:

$P=\sqrt{A^{*}A}$

$P^{\prime }=\sqrt{A{A}^{*}}$

där $A^{*}$ är det hermiteska konjugatet till A. Uttrycken är väldefinierade då $A^{*}A$ och $A{A}^{*}$ är positivt definita hermiteska matriser, så att det existerar en unik kvadratrot.

Matrisen U ges sedan alltid av:

$U=A{P}^{-1}=P{\text{'}}^{-1}A$

Beräkning via singulärvärdesfaktorisering

Om A är singulärvärdesfaktoriserad, $A=W\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$, ges matriserna i polärfaktoriseringarna av:

$U=W{V}^{*}$

$P=V\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$

$P^{\prime }=W\mathrm{\Sigma }{W}^{*}$