Hermiteskt konjugat

Det hermiteska konjugatet är en matematisk operation på en matris uppkallat efter franske 1800-talsmatematikern Charles Hermite.

Definition

Det hermiteska konjugatet av en matris $A=(a_{ij})\in {ℂ}_{m\times n}$ definieras som ${\left(A^H\right)}_{ij}=\overline{a_{ji}}$ där $\overline{z}$ betecknar komplexkonjugatet av $z$. Med andra ord är det hermiteska konjugatet till $A$ definierat som $A$:s transponat med alla element komplexkonjugerade.

Notera att $A\in {ℝ}_{m\times n}\Rightarrow A^H=A^t$, transponatet av A. Dvs, för reella matriser är det hermiteska konjugatet samma som vanlig transponering.

Andra skrivsätt

$A^H$ skrivs även $A^{*}$ eller $A^{†}$.

Exempel

$A=\left(\begin{array}{cc}3+i& 2-i\\ i& 1-i\end{array}\right)$

Ger att:

$A^H=\left(\begin{array}{cc}3-i& -i\\ 2+i& 1+i\end{array}\right)$

Egenskaper

Ur definitionen får man omedelbart följande egenskaper:

$(A^H{)}^H=A$

$(A^H{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^H$ om A är inverterbar.

$(A+B{)}^H=A^H+B^H$

$(\lambda A{)}^H={\lambda }^{*}{A}^H$, där ${\lambda }^{*}$ är $\lambda$:s komplexa konjugat.

$(AB{)}^H=B^H{A}^H$

Om operatornormen av $A$ är:

$\Vert A\Vert =\sup \{\Vert Ax\Vert :\Vert x\Vert =1\}$

så är

$\Vert A^H\Vert =\Vert A\Vert$

och

$\Vert A^{H}A\Vert =\Vert A{\Vert }^2$

Se även

• Normal matris
• Hermitesk matris
• Symmetrisk matris
• Transponat