Komplexkonjugat

Komplexa tal och deras konjugerade värden i det komplexa talplanet. Talen är varandras speglingar i den reella axeln

Komplexkonjugatet till ett komplext tal är det komplexa tal som har samma realdel och där imaginärdelen har samma belopp men är av motsatt tecken. Konjugering innebär att i det komplexa talplanet avbilda talet som dess spegling i den reella axeln. Komplexkonjugatet av ett tal $z=a+b\mathrm{i}$ betecknas med $\overline{z}$ eller $z^{*}$ och kan definieras som

$\overline{z}=\overline{a+b\mathrm{i}}=a-b\mathrm{i}a,b\in ℝ$

Till exempel är

$\overline{2+3\mathrm{i}}=2-3\mathrm{i}$

$\bar{5}=5$

$\bar{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$

Egenskaper

För alla komplexa tal $z$ och $w$ gäller

$\overline{(z+w)}=\bar{z}+\bar{w}$

$\overline{(zw)}=\bar{z}\bar{w}$

$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}$ om $w\ne 0$

$\bar{z}=z$ om och endast om $z$ är reellt

$\left|\bar{z}\right|=\left|z\right|$

$\arg (\bar{z})=-\arg (z)$

${\left|z\right|}^2=z\bar{z}$

$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2}$ om $z\ne 0$

Komplexkonjugering är ett av de enklaste exemplen på en icke-analytisk funktion.