Spektralsatsen

Spektralsatsen är en samling satser inom linjär algebra. Satserna anger vilka linjära avbildningar som har en bas av ortonormerade egenvektorer och alltså kan diagonaliseras i denna bas, det vill säga huruvida matrisen A kan uttryckas som

$A=UD{U}^{*}$

där D är en diagonalmatris och U är en unitär matris.

Satsen anger dels att vissa matriser är diagonaliserbara, dels att det inte är nödvändigt att beräkna en invers, vilket är fallet vid allmänna diagonaliseringar, då matrisen skrivs

$A=TD{T}^{-1}$.

Spektralsatser

Spektralsatsen finns i flera utföranden. Spektralsatsen för symmetriska avbildningar är oftast den enda som lärs ut i en grundkurs i linjär algebra.

Symmetriska avbildningar

Om $V$ är ett ändligt-dimensionellt reellt inre produktrum gäller följande:

$F:V\to V$ är en symmetrisk linjär avbildning $⟺F$ har en ortonormerad bas av egenvektorer till $V$.

Hermitska avbildningar

Om $V$ är ett ändligt-dimensionellt komplext inre produktrum gäller följande:

$F:V\to V$ är en hermitsk linjär avbildning $⟹F$ har en ortonormerad bas av egenvektorer till $V$ och egenvärdena är reella.

Normala avbildningar

Om $V$ är ett ändligt-dimensionellt komplext inre produktrum gäller följande:

$F:V\to V$ är en normal linjär avbildning $⟺F$ har en ortonormerad bas av egenvektorer till $V$ (men egenvärdena är i allmänhet inte reella).

Notera ekvivalensenMall:Särskiljning behövs: Normala linjära avbildningar är alltså exakt de avbildningar som kan diagonaliseras med en bas av ortonormerade egenvektorer.

Bevis

Symmetriska avbildningar

Spektralsatsen bevisas för en reell symmetrisk avbildning F genom matematisk induktion över dimensionen p för vektorrummet ${𝔼}^p$ som F verkar på.

• Visa att satsen gäller för p = 1.

Låt vektorn $𝐟$ vara talet 1. Eftersom avbildningsmatrisen har dimensionen 1x1 och är reell avbildas $𝐟$ på en reell multipel av sig själv, så egenvärdet är reellt.

$𝐟$ är alltså en normerad egenvektor till $F$ och därmed den sökta basen till ${𝔼}^1$.

• Anta vidare att satsen är sann för rum av dimensionen p. Visa då att satsen även är sann för rum av dimensionen p + 1.

Symmetriska matriser är hermitska, och hermitska matriser har endast reella egenvärden. Välj ett (reellt) egenvärde ${\lambda }_1$ för $F$ i rummet ${𝔼}^{p+1}$ och låt vektorn ${𝐟}_1$ vara en normerad egenvektor till denna.

Bilda mängden $V$ som innehåller alla vektorer i $𝔼$ som är ortogonala mot ${𝐟}_1$. Dimensionen för $V$ blir alltså $p$. Låt $V$ ha ortonormala basvektorer $𝐟{\text{'}}_2,𝐟{\text{'}}_3\dots ,𝐟{\text{'}}_{p+1}$. Notera att dessa inte nödvändigtvis är egenvektorer till $F$.

Fyll ut med ${𝐟}_1$ till en ON-bas för ${𝔼}^{p+1}$.

Transformationsmatrisen $T$ blir då ortonormal, så $T^{-1}=T^T$. Avbildningsmatrisen i den nya basen, $A_f=TA{T}^T$, blir då symmetrisk eftersom $A_f^T=(TA{T}^T{)}^T=T{A}^T{T}^T=TA{T}^T=A_f.$. Den får då formen $\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& \ddots & \cdots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & b\\ 0& a& b& c\end{array}\right)$.

Då V har dimension p och är symmetrisk existerar ortonormala egenvektorer ${𝐟}_2,{𝐟}_3,\dots ,{𝐟}_{p+1}$ till F begränsat till rummet V enligt induktionsantagandet.

Det betyder i sin tur att ${𝐟}_1,{𝐟}_2,\dots ,{𝐟}_p,{𝐟}_{p+1}$ är en ortonormerad bas bestående av egenvektorer till $F$

• Eftersom satsen är sann för dimensionen $p=1$ och om den är sann för ett rum av dimensionen $p$ så är den även sann för rum av dimensionen $p+1$, är satsen sann för alla heltalsdimensioner.

Normala avbildningar

Schurs sats kan användas för att bevisa att en normal matris kan diagonaliseras med en unitär matris.

Låt A vara en normal matris. Det finns då, enligt Schurs sats, en unitär matris U så att A = UTU^H, där T är en uppåt triangulär matris med A:s egenvärden på diagonalen. Man får då att:

$A{A}^H=UT{T}^H{U}^H{A}^{H}A=U{T}^{H}T{U}^H$.

Då A är normal och U inverterbar ger detta att TT^H = T^HT. T är uppåt triangulär och T^H är nedåt triangulär, så för att produkterna TT^H och T^HT ska vara lika måste T vara diagonal.

Historia

Spektralsatsen utformades under början av 1800-talet av Augustin-Louis Cauchy.

Tillämpningar

Kvadratiska former

En kvadratisk form kan skrivas som en symmetrisk matris och kan därför diagonaliseras med en ortonormerad bas. Den blir då mer lätthanterlig. Spektralsatsen kan i vissa fall vara formulerad som att en kvadratisk form i ett euklidiskt rum har en kanonisk ortonormerad bas. Detta gör att spektralsatsen kan användas för att bestämma olika andragradsytors huvudaxlar.

Exempelvis kan den kvadratiska formen

$k(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_1{x}_2+x_2^2+6x_2{x}_3+x_3^2$

skrivas på matrisform som

$k(𝐱)=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$

och där egenvärdena är

$1,1-\sqrt{13},1+\sqrt{13}$,

så att k i den nya basen kan skrivas

$k^{\prime }(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+(1-\sqrt{13})x_2^2+(1+\sqrt{13})x_3^2$.

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2007, MAI (Linköpings Universitet)
• Thompson, Jan, Matematiklexikon, 2005, Wahlström & Widstrand
• Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong, 2004, elektroniskt tillgänglig http://www.math.brown.edu/%7Etreil/papers/LADW/LADW.html
• Mall:Bokref