Ortonormerad bas

Inom linjär algebra kan en ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas) ses som ett koordinatsystem, så kallat ortonormerat koordinatsystem eller ON-system, där koordinataxlarna är ortogonala (sinsemellan vinkelräta) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer.

Exempel

Euklidiska rum

I det euklidiska rummet $ℝ^{3}$ kan varje vektor $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ skrivas som en summa av sina komposanter:

x = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3} .

I denna summa ger enhetsvektorerna $e_{1} = (1, 0, 0)$ , $e_{2} = (0, 1, 0)$ och $e_{3} = (0, 0, 1)$ upphov till ett rektangulärt koordinatsystem i $ℝ^{3}$ . I detta sammanhang är det mängden av enhetsvektorer ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ som utgör en ortonormerad bas för det euklidiska rummet $ℝ^{3} .$

Funktionsrum

Mängden {f_n : n ∈ Z} med $f_{n} (x) = e^{2 π i n x}$ ger en ortonormerad bas på det komplexa rummet L²([0,1])

Andra rum

Mängden {e_b : b ∈ B} med e_b(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormerad bas på rummet l²(B).

Definition

Linjärt spann

Låt $A \subseteq X$ vara en delmängd till ett vektorrum $X$ . Det linjära spannet av $A$ är den mängd, $s p a n (A)$ , som består av alla linjärkombinationer

ξ_{1} x_{1} + \dots + ξ_{n} x_{n},

vars koefficienter $ξ_{k}$ är komplexa tal och vars komponenter $x_{k}$ är element i mängden $A$ .

Total mängd

En delmängd $A \subseteq X$ till ett normerat rum, $X$ , är en total mängd om det slutna höljet av dess linjära spann utgör hela rummet $X$ ; det vill säga om

\overline{s p a n (A)} = X .

Ortonormerad mängd

En delmängd $A \subseteq X$ till ett pre-Hilbertrum $X$ , säges vara en ortonormerad mängd om den inre produkten $⟨ x, y ⟩$ mellan två element $x, y \in A$ är

⟨ x, y ⟩ = {\begin{matrix} 1 & x = y \\ 0 & x \neq y . \end{matrix}