Linjärkombination

Linjärkombinationen $\overrightarrow{v}=2{\overrightarrow{u}}_1+1.5{\overrightarrow{u}}_2$

En linjärkombination är en summa bildad ur en mängd av termer och där varje term i summan multiplicerats med en konstant faktor. Linjärkombinationer är av central betydelse inom linjär algebra och närliggande matematiska områden.

Om en vektor $𝐮$ i ett linjärt rum kan skrivas

$𝐮=c_1{𝐯}_1+c_2{𝐯}_2+\dots +c_n{𝐯}_n$

där $c_1,c_2,\dots ,c_n$ är skalärer, är $𝐮$ en linjärkombination av mängden $\{{𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n\}$.

Exempel

Vektorer

En vektor skriven som en linjärkombination av två andra vektorer:

$\left[\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right]=1\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+2\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$

En vektor kan delas upp i komponenter i form av en linjärkombination:

$(a_1,a_2,a_3)=a_1(1,0,0)+a_2(0,1,0)+a_3(0,0,1)$

Funktioner

Funktioner skrivna som linjärkombinationer av andra funktioner:

• $\cos x=\frac{1}{2}{e}^{ix}+\frac{1}{2}{e}^{-ix}$
• $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Polynom

Polynomet

$x^2-2x+3$

kan med hjälp av

$v_1=(x^2,0,0),v_2=(0,x,0),v_3=(0,0,1)$

skrivas som linjärkombinationen

$v_1-2v_2+3v_3$

Referenser

• Mall:Bokref

Noter

Mall:Linjär-algebra