Laguerrepolynom

De fem första Laguerrepolynomen för $\alpha =0$.

Laguerrepolynom är ett matematiskt begrepp, där n te Laguerrepolynomet $L_n^{\alpha }$ som svarar mot parametern $\alpha$, definierat enligt

$L_n^{\alpha }\left(x\right)=\frac{x^{-\alpha }{e}^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(x^{\alpha +n}{e}^{-x}\right),$

där $\alpha$ är ett reellt tal så att $\alpha >-1$.

För att följa den vanliga konventionen för definitionen av ortogonala polynom så kan man säga att Laguerrepolynomen svarar mot intervallet $0\le x<\mathrm{\infty }$ samt viktfunktionen $w\left(x\right)=x^{\alpha }{e}^{-x}$.

I viss litteratur förekommer benämningarna Laguerrepolynom samt generaliserade Laguerrepolynom för fallen $\alpha =0$ respektive $\alpha \ne 0$.

Olikheten för parametern $\alpha$ som förekommer i definitionen ovan, måste i allra högsta grad uppfyllas. För att förstå nödvändigheten i detta, förutsätt för en stund att olikheten inte uppfylls. Då kommer viktfunktionen $w\left(x\right)=x^{\alpha }{e}^{-x}$ inte vara integrerbar i origo, så att integralerna som definierar både ortogonalitet och norm för Laguerrepolynomen kommer att divergera.

Laguerrepolynomen satisfierar Laguerreekvationen:

$x{y}^{″}+(\alpha +1-x)y^{\prime }+ny=0.$

Ett användningsområde för Laguerrepolynomen finns inom kvantmekaniken, där de förekommer då man behandlar väteatomens tillstånd.

Laguerrepolynomen är uppkallade efter Edmond Laguerre (1834-1886).

De första Laguerrepolynomen

n	$L_n(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	$\frac{1}{2}(x^2-4x+2)$
3	$\frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6)$
4	$\frac{1}{24}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)$
5	$\frac{1}{120}(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)$
6	$\frac{1}{720}(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)$

Alternativa definitioner

Man kan definiera Laguerrapolynomen genom att först definierar

$L_0(x)=1$

$L_1(x)=1-x$

och sedan använda följande differensekvation för alla k ≥ 1:

$L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}((2k+1-x)L_k(x)-k{L}_{k-1}(x)).$

En sluten formel är

$L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n-i})\frac{x^i}{i!}.$

Rodirgues formel för dem är

$L_n^{(\alpha )}(x)=\frac{x^{-\alpha }{e}^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^{n+\alpha }\right)=x^{-\alpha }\frac{(\frac{d}{dx}-1{)}^n}{n!}{x}^{n+\alpha }.$

Laguerrepolynomens exponentiella genererande funktion är

$\sum _n^{\mathrm{\infty }}{t}^n{L}_n(x)=\frac{1}{1-t}{e}^{\frac{-tx}{1-t}}.$

Egenskaper

• De första Laguerrepolynomen med parametern α är

$\begin{array}{cc}{L}_0^{(\alpha )}(x)& =1\\ L_1^{(\alpha )}(x)& =-x+\alpha +1\\ L_2^{(\alpha )}(x)& =\frac{x^2}{2}-(\alpha +2)x+\frac{(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}\\ L_3^{(\alpha )}(x)& =\frac{-x^3}{6}+\frac{(\alpha +3)x^2}{2}-\frac{(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}+\frac{(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}\end{array}.$

• $L_n^{(\alpha )}(0)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})\approx \frac{n^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}.$

• L_n^(α) har n reella, strikt positiva rötter som är alla i intervallet $(0,n+\alpha +(n-1)\sqrt{n+\alpha }].$

• Laguerrepolynomens asymptotiska tillväxt för stora n fixerat α och x > 0, ges av

$L_n^{(\alpha )}(x)=\frac{n^{\frac{\alpha }{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi }}\frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{4}}}\cos (2\sqrt{nx}-\frac{\pi }{2}(\alpha +\frac{1}{2}))+O\left(n^{\frac{\alpha }{2}-\frac{3}{4}}\right)$

$L_n^{(\alpha )}(-x)=\frac{(n+1{)}^{\frac{\alpha }{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi }}\frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{4}}}{e}^{2\sqrt{x(n+1)}}\cdot (1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right))$

som kan sammanfattas som

$\frac{L_n^{(\alpha )}\left(\frac{x}{n}\right)}{n^{\alpha }}\approx e^{\frac{x}{2n}}\cdot \frac{J_{\alpha }\left(2\sqrt{x}\right)}{{\sqrt{x}}^{\alpha }}$

där $J_{\alpha }$ är Besselfunktionen.

Identiteter

Additionsformeln för Laguerrepolynomen är

$L_n^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^n{L}_i^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y)$.

Laguerrepolynomen satisfierar ett flertal intressanta relationer:

$L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n{L}_{n-i}^{(\alpha +i)}(y)\frac{(y-x{)}^i}{i!}$

$L_n^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^n{L}_i^{(\alpha )}(x)$

$L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -\beta +n-i-1}{n-i})L_i^{(\beta )}(x)$

$L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -\beta +n}{n-i})L_i^{(\beta -i)}(x).$

Dessutom är

$\begin{array}{cc}{L}_n^{(\alpha )}(x)& =L_n^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})L_{n-j}^{(\alpha -k+j)}(x)\\ n{L}_n^{(\alpha )}(x)& =(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-x{L}_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\ & \text{or }\frac{x^k}{k!}{L}_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{k-i})L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x)\\ n{L}_n^{(\alpha +1)}(x)& =(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\ x{L}_n^{(\alpha +1)}(x)& =(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha )}(x)\end{array}$

och genom att kombinera dem kan man bevisa att

$\begin{array}{cc}{L}_n^{(\alpha )}(x)& =(2+\frac{\alpha -1-x}{n})L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(1+\frac{\alpha -1}{n})L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\ & =\frac{\alpha +1-x}{n}{L}_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-\frac{x}{n}{L}_{n-2}^{(\alpha +2)}(x).\end{array}$

En intressant identitet för heltal i och n är

$\frac{(-x{)}^i}{i!}{L}_n^{(i-n)}(x)=\frac{(-x{)}^n}{n!}{L}_i^{(n-i)}(x)$

som kan användas till att härleda partialbråksuppdelningen

$\frac{L_n^{(\alpha )}(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})}=1-\sum _{j=1}^n\frac{x^j}{\alpha +j}\frac{L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}=1-\sum _{j=1}^n(-1{)}^j\frac{j}{\alpha +j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})L_n^{(-j)}(x)=1-x\sum _{i=1}^n\frac{L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}.$

Multiplikationsteorem

Två multiplikationsteorem av Erdélyi är

$t^{n+1+\alpha }{e}^{(1-t)z}{L}_n^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n}){(1-\frac{1}{t})}^{k-n}{L}_k^{(\alpha )}(z)$

och

$e^{(1-t)z}{L}_n^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}\frac{(1-t{)}^k{z}^k}{k!}{L}_n^{(\alpha +k)}(z).$

Derivator

Laguerrepolynomens derivator kan räknas med hjälp av

$\frac{d^k}{d{x}^k}{L}_n^{(\alpha )}(x)=(-1{)}^k{L}_{n-k}^{(\alpha +k)}(x).$

Dessutom gäller följande ekvation

$\frac{1}{k!}\frac{d^k}{d{x}^k}{x}^{\alpha }{L}_n^{(\alpha )}(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{k})x^{\alpha -k}{L}_n^{(\alpha -k)}(x)$

som kan generaliseras till

$L_n^{({\alpha }^{\prime })}(x)=({\alpha }^{\prime }-\alpha )(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }^{\prime }+n}{{\alpha }^{\prime }-\alpha })\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^{\alpha }(x-t{)}^{{\alpha }^{\prime }-\alpha -1}}{x^{{\alpha }^{\prime }}}{L}_n^{(\alpha )}(t)dt.$

Derivatan i förhållande till andra variabeln α är

$\frac{d}{d\alpha }{L}_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}\frac{L_i^{(\alpha )}(x)}{n-i}.$

Laguerrepolynomen satisfierar differentialekvationen

$x{L}_n^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_n^{(\alpha )\prime }(x)+n{L}_n^{(\alpha )}(x)=0.$

Ortogonalitet

Laguerrepolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha }{e}^{-x}{L}_n^{(\alpha )}(x)L_m^{(\alpha )}(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)}{n!}{\delta }_{n,m}$

som följer ur

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{{\alpha }^{\prime }-1}{e}^{-x}{L}_n^{(\alpha )}(x)dx=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -{\alpha }^{\prime }+n}{n})\mathrm{\Gamma }({\alpha }^{\prime }).$

Relation till andra funktioner

Laguerrepolynomen är relaterade till generaliserade hypergeometriska funktionen enligt

$L_n^{(\alpha )}(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})M(-n,\alpha +1,x)=\frac{(\alpha +1{)}_n}{n!}{}_1{F}_1(-n,\alpha +1,x)$

där $(a{)}_n$ är Pochhammersymbolen.

Hermitepolynomen är ett specialfall av Laguerrepolynomen:

$H_{2n}(x)=(-1{)}^n{2}^{2n}n!L_n^{(-1/2)}(x^2)$

och

$H_{2n+1}(x)=(-1{)}^n{2}^{2n+1}n!x{L}_n^{(1/2)}(x^2).$

Oändliga serier som innehåller Laguerrepolynom

Anta att funktionen f har serieexpansionen

$f(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i^{(\alpha )}{L}_i^{(\alpha )}(x).$

Då är

$f_i^{(\alpha )}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{L_i^{(\alpha )}(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+\alpha }{i})}\cdot \frac{x^{\alpha }{e}^{-x}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\cdot f(x)dx.$

Monom kan skrivas som

$\frac{x^n}{n!}=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n-i})L_i^{(\alpha )}(x).$

Binomialkoefficienterna har expansionen

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+x}{n})=\sum _{i=0}^n\frac{{\alpha }^i}{i!}{L}_{n-i}^{(x+i)}(\alpha )$

som leder till formeln

$e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\gamma }^i}{(1+\gamma {)}^{i+\alpha +1}}{L}_i^{(\alpha )}(x)(\text{konvergerar om }\mathrm{Re}(\gamma )>-\frac{1}{2}).$

Ofullständiga gammafunktionen har representationen

$\mathrm{\Gamma }(\alpha ,x)=x^{\alpha }{e}^{-x}\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{L_i^{(\alpha )}(x)}{1+i}(\mathrm{\Re }(\alpha )>-1,x>0).$

En annan oändlig serie är

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!L_n^{(\alpha )}(x)L_n^{(\alpha )}(y)r^n}{\mathrm{\Gamma }(1+\alpha +n)}=\frac{\exp (-\frac{(x+y)r}{1-r})I_{\alpha }\left(\frac{2\sqrt{xyr}}{1-r}\right)}{{\left(xyr\right)}^{\frac{\alpha }{2}}(1-r)},,\alpha >-1,\left|r\right|<1.$

Övrigt

Följande olikhet för Laguerrepolynomen gäller:

$L_n^{(\alpha )}(x{)}^2-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +n-1}{n-k})}{n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{L}_k^{(\alpha -1)}(x{)}^2>0.$

Följande integral är viktig i vissa fysikaliska applikationer av Laguerrepolynom:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha +1}{e}^{-x}{[L_n^{(\alpha )}(x)]}^{2}dx=\frac{(n+\alpha )!}{n!}(2n+\alpha +1).$

Se även

• Q-Laguerrepolynom

Källor

• Gerald B. Folland, Fourier analysis and its applications, Brooks/Cole publishing company, 1992.
• B. H. Bransden and C. J. Joachain, Quantum mechanics, second edition, Prentice hall, Pearson Education, 2000.
• Donald A. McQuarrie, Mathematical methods for scientists and engineers, University science books, 2003.

Externa länkar

• Mall:Commonscat