Besselfunktion

Inom matematiken är besselfunktionerna lösningarna till differentialekvationen

$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+\frac{1}{x}\frac{du}{dx}+(1-\frac{{\alpha }^2}{x^2})u=0$.

Denna ekvation uppkommer när man tittar på den radiella delen av Laplaces ekvation i cylindriska koordinater.

Definition

Besselfunktioner av första slaget, Mall:Math, för heltalsordningarna α = 0, 1, 2

Besselfunktionerna av första slaget definieras av:

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha }$.

Om $n$ är ett heltal kan Besselfunktionerna definieras som integralen

$J_n(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos (nt-x\sin t)dt$.

En integral för alla värden på α är

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau -\frac{\sin (\alpha \pi )}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x\sinh (t)-\alpha t}dt.$

Besselfunktioner av det andra slaget, Y_α(x), för heltalsordningarna α = 0, 1, 2

Differentialekvationen har två linjärt oberoende lösningar och därför behövs även Besselfunktioner av andra slaget:

$Y_{\alpha }(x)=\frac{J_{\alpha }(x)\cos (\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin (\alpha \pi )}$.

$Y_{\alpha }(x)$ är inte begränsad då $x\to 0$, vilket gör att man ofta kan bortse från denna lösning av fysikaliska skäl. För heltal n måste Besselfunkttionen av andra slaget definieras som gränsvärdet

$Y_n(x)=\underset{\nu \to n}{\lim }{Y}_{\nu }(x)$.

Gränsvärdet ges av uttrycket

$\begin{array}{cc}{Y}_n(x)=& \frac{2}{\pi }(\gamma +\ln \frac{x}{2})J_n(x)-\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k-n}\\ & -\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{H_k+H_{k+n}}{k!(n+k)!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k+n}\end{array}$

där $\gamma$ är Eulers konstant och $H_n$ är det n:te harmoniska talet.

En integralrepresentation för Re(x) > 0 är

$Y_n(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x\sin \theta -n\theta )d\theta -\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[e^{nt}+(-1{)}^n{e}^{-nt}]e^{-x\sinh t}dt.$

• Mall:Commons

Sfäriska Besselfuntioner

I samband med Laplaces ekvation i sfäriska koordinater uppkommer en liknande ekvation för den radiella delen:

$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+\frac{2}{x}\frac{du}{dx}+(1-\frac{n(n+1)}{x^2})u=0.$

Denna har de sfäriska Besselfunktionerna som lösningar.

$j_n(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{J}_{n+1/2}(x),$

$y_n(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{Y}_{n+1/2}(x)=(-1{)}^{n+1}\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{J}_{-n-1/2}(x).$

Se vidare Klotytefunktion.

Hankelfunktioner

En annan viktig formulering av två linjärt oberoende lösningar på Bessels ekvation är Hankelfunktionerna H_α⁽¹⁾(x) och H_α⁽²⁾(x) som definieras som

$H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+i{Y}_{\alpha }(x)$

$H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-i{Y}_{\alpha }(x)$

där i är imaginära enheten. De är även kända som Besselfunktioner av tredje slaget. De är uppkallade efter Hermann Hankel.

Hankelfunktionerna kan uttryckas som

$H_{\alpha }^{(1)}(x)=\frac{J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}{J}_{\alpha }(x)}{i\sin (\alpha \pi )}$

$H_{\alpha }^{(2)}(x)=\frac{J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}{J}_{\alpha }(x)}{-i\sin (\alpha \pi )}.$

Om α är ett heltal måste gränsvädet räknas. Oberoende om α är ett heltal eller inte gäller följande relationer:

$H_{-\alpha }^{(1)}(x)=e^{\alpha \pi i}{H}_{\alpha }^{(1)}(x)$

$H_{-\alpha }^{(2)}(x)=e^{-\alpha \pi i}{H}_{\alpha }^{(2)}(x).$

Modifierade Besselfunktioner

Ett viktigt specialfall av Besselfunktionerna är set då argumentet är rent imaginärt. I det fallet kallas funktionerna för modifierade Besselfunktioner (eller ibland för hyperboliska Besselfunktioner) av första och andra slaget, och definieras som

$I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }{J}_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha }$

$K_{\alpha }(x)=\frac{\pi }{2}\frac{I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin (\alpha \pi )}$

De är reellvärda för positiva reella argument x.

Om −π < arg(x) ≤ π/ är

$K_{\alpha }(x)=\frac{\pi }{2}{i}^{\alpha +1}{H}_{\alpha }^{(1)}(ix)$,

och om −π/2 < arg(x) ≤ π är

$K_{\alpha }(x)=\frac{\pi }{2}(-i{)}^{\alpha +1}{H}_{\alpha }^{(2)}(-ix)$.

För −π < arg(z) ≤ π/2 är

$\begin{array}{cc}{J}_{\alpha }(iz)& =e^{\frac{\alpha i\pi }{2}}{I}_{\alpha }(z)\\ Y_{\alpha }(iz)& =e^{\frac{(\alpha +1)i\pi }{2}}{I}_{\alpha }(z)-\frac{2}{\pi }{e}^{-\frac{\alpha i\pi }{2}}{K}_{\alpha }(z)\end{array}$

I_α(x) och K_α(x) är två linjärt oberoende lösningar av modifierade Besselekvationen

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+{\alpha }^2)y=0.$

Två integralformler för Re(x) > 0 är

$I_{\alpha }(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\exp (x\cos (\theta ))\cos (\alpha \theta )d\theta -\frac{\sin (\alpha \pi )}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-x\cosh t-\alpha t)dt$

$K_{\alpha }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-x\cosh t)\cosh (\alpha t)dt.$

Modifierade Besselfunktionerna K_1/3 and K_2/3 kan skrivas som de snabbt konvergerande integralerna

$\begin{array}{cc}{K}_{\frac{1}{3}}(\xi )& =\sqrt{3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp [-\xi (1+\frac{4x^2}{3})\sqrt{1+\frac{x^2}{3}}]dx\\ K_{\frac{2}{3}}(\xi )& =\frac{1}{\sqrt{3}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{3+2x^2}{\sqrt{1+\frac{x^2}{3}}}\exp [-\xi (1+\frac{4x^2}{3})\sqrt{1+\frac{x^2}{3}}]dx\end{array}$

Modifierade Besselfunktionerna av andra slaget har även kallats för:

• Bassetfunktioner efter Alfred Barnard Basset
• Modifierade Besselfunktioner av tredje slaget
• Modifierade Hankelfunktioner
• Macdonaldfunktioner efter Hector Munro Macdonald
• Weberfunktionwe
• Neumannfunktioner

Riccati-Besselfunktioner

Riccati-Besselfunktionerna definieras som

$S_n(x)=x{j}_n(x)=\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{J}_{n+\frac{1}{2}}(x)$

$C_n(x)=-x{y}_n(x)=-\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{Y}_{n+\frac{1}{2}}(x)$

${\xi }_n(x)=x{h}_n^{(1)}(x)=\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{H}_{n+\frac{1}{2}}^{(1)}(x)=S_n(x)-i{C}_n(x)$

${\zeta }_n(x)=x{h}_n^{(2)}(x)=\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{H}_{n+\frac{1}{2}}^{(2)}(x)=S_n(x)+i{C}_n(x).$

De satisfierar differentialekvationen

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+[x^2-n(n+1)]y=0.$

Multiplikationsteorem

Besselfunktionerna satisfierar multiplikationsteoremet

${\lambda }^{-\nu }{J}_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\left(\frac{(1-{\lambda }^2)z}{2}\right)}^n{J}_{\nu +n}(z)$

där λ och ν är godtyckliga kompexa tal. Den analoga formeln för modifierade Besselfunktioner är

${\lambda }^{-\nu }{I}_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\left(\frac{({\lambda }^2-1)z}{2}\right)}^n{I}_{\nu +n}(z)$

och

${\lambda }^{-\nu }{K}_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\left(\frac{({\lambda }^2-1)z}{2}\right)}^n{K}_{\nu +n}(z).$

Egenskaper

Besselfunktionerna satisfierar de användbara rekursionerna

$J_{n+1}(x)=\frac{2n}{x}{J}_n(x)-J_{n-1}(x)$

${J_n}^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x))$

$x{J_n}^{\prime }(x)=n{J}_n(x)-x{J}_{n+1}(x)$

$(x^n{J}_n(x){)}^{\prime }=x^n{J}_{n-1}(x)$

$(x^{-n}{J}_n(x){)}^{\prime }=-x^{-n}{J}_{n+1}(x)$.

För heltal α = n kan J_n definieras via Laurentserien

$e^{(\frac{x}{2})(t-1/t)}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_n(x)t^n.$

Andra liknande relationer för heltal n är

$e^{iz\cos (\varphi )}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{i}^n{J}_n(z)e^{in\varphi },$

och

$e^{iz\sin (\varphi )}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_n(z)e^{in\varphi }.$

För ν > −1/2 och z ∈ C kan Besselfunktionerna definieras som integralerna

$\begin{array}{cc}{J}_{\nu }(z)& =\frac{(\frac{z}{2}{)}^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})\sqrt{\pi }}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e}^{izs}(1-s^2{)}^{\nu -\frac{1}{2}}ds\\ & =\frac{2}{{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }\cdot \sqrt{\pi }\cdot \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-\nu )}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (zu)}{(u^2-1{)}^{\nu +\frac{1}{2}}}du.\end{array}$

Besselfunktionerna satisfierar ortogonalitetsrelationen

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_{\alpha }(z)J_{\beta }(z)\frac{dz}{z}=\frac{2}{\pi }\frac{\sin (\frac{\pi }{2}(\alpha -\beta ))}{{\alpha }^2-{\beta }^2}.$

En annan integral är

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-at}{J}_n(bt)\mathrm{d}t=\frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a{)}^n}.$

Relation till andra funktioner

Besselfunktionerna är relaterade till generaliserade hypergeometriska serier enligt

$J_{\alpha }(x)=\frac{(\frac{x}{2}{)}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{}_0{F}_1(\alpha +1;-\frac{x^2}{4}).$

Besselfunktionerna är även relaterade till Laguerrepolynomen enligt

$\frac{J_{\alpha }(x)}{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }}=\frac{e^{-t}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{L_k^{(\alpha )}\left(\frac{x^2}{4t}\right)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\alpha }{k})}\frac{t^k}{k!}$

där t är ett godtyckligt tal.

Identiteter

$K_{\frac{1}{2}}(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{e}}^{-z}{z}^{-\frac{1}{2}},z>0;$

$I_{-\frac{1}{2}}(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cosh (z);$

$I_{\frac{1}{2}}\left(z\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sinh (z);$

$I_{\nu }(z)=\sum _{k=0}\frac{z^k}{k!}{J}_{\nu +k}(z);$

$J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}(-1{)}^k\frac{z^k}{k!}{I}_{\nu +k}(z);$

$I_{\nu }(\lambda z)={\lambda }^{\nu }\sum _{k=0}\frac{{(({\lambda }^2-1)\frac{z}{2})}^k}{k!}{I}_{\nu +k}(z);$

$I_{\nu }(z_1+z_2)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{I}_{\nu -k}(z_1)I_k(z_2)$

$J_{\nu }(z_1\pm z_2)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_{\nu \mp k}(z_1)J_k(z_2);$

$I_{\nu }(z)=\frac{z}{2\nu }(I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z));$

$J_{\nu }(z)=\frac{z}{2\nu }(J_{\nu -1}(z)+J_{\nu +1}(z));$

${J_{\nu }}^{\prime }(z)=\frac{J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)}{2}(\nu \ne 0),{J_0}^{\prime }(z)=-J_1(z);$

${I_{\nu }}^{\prime }(z)=\frac{I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)}{2},{I_0}^{\prime }(z)=I_1(z);$

${\left(\frac{1}{2}z\right)}^{\nu }=\mathrm{\Gamma }(\nu )\cdot \sum _{k=0}{I}_{\nu +2k}(z)(\nu +2k)(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\nu }{k})=\mathrm{\Gamma }(\nu )\cdot \sum _{k=0}(-1{)}^k{J}_{\nu +2k}(z)(\nu +2k)(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\nu }{k})$

$=\mathrm{\Gamma }(\nu +1)\cdot \sum _{k=0}\frac{1}{k!}{\left(\frac{1}{2}z\right)}^k{J}_{\nu +k}(z).$

Se även

• Lerche–Newbergers summaregel
• Lommelpolynom

Externa länkar

• Mall:Commonscat WD