Lommelpolynom

Lommelpolynomen R_m,ν(z), introducerade av Eugen von Lommel (1871), är en serie polynom i 1/z som definieras av att $$J_{m+\nu }(z)=J_{\nu }(z)R_{m,\nu }(z)-J_{\nu -1}(z)R_{m-1,\nu +1}(z)$$ där J_ν(z) är Besselfunktionen av första slaget.

En explicit formel är $$R_{m,\nu }(z)=\sum _{n=0}^{[m/2]}\frac{(-1{)}^m(m-n)!\mathrm{\Gamma }(\nu +m-n)}{n!(m-2n)!\mathrm{\Gamma }(\nu +n)}(z/2{)}^{2n-m}.$$ Notera att exponenten på $z/2$ aldrig är positiv. Eftersom skillnaden i argument mellan de två Gammafunktionerna är ett heltal så kan deras kvot alternativt uttryckas med en fallande fakultet; koefficienterna i Lommelpolynomen är även polynom i $\nu$.

Se även

• Lommels funktion
• Neumannpolynom